Question

15．如图所示，BC 为半径等于$\frac{2}{5}\sqrt{2}$m竖直放置的光滑细圆管，O为细圆管的圆心，在圆管的末端C连接倾斜角为45°、动摩擦因数μ=0.6的足够长粗糙斜面，一质量为m=0.5kg的小球从O点正上方某处A点以v₀水平抛出，恰好能垂直OB从B点进入细圆管，小球从进入圆管开始受到始终竖直向上的力F=5N的作用，当小球运动到圆管的末端C时作用力F立即消失，小球能平滑地冲上粗糙斜面．（g=10m/s²）求：
（1）小球从O点的正上方某处A点水平抛出的初速度v₀为多少？OA的距离为多少？
（2）小球在圆管中运动时对圆管的压力是多少？
（3）小球在CD斜面上运动的最大位移是多少？

Answer 1

分析 （1）小球从A运动到B为平抛运动，根据平抛运动的规律及几何关系求解初速度和OA的距离；
（2）小球从B到O过程力F和重力平衡，做匀速圆周运动；先求出B点的速度，根据向心力公式求解细管对小球的作用力；
（3）对从C到D过程，先受力分析，根据牛顿第二定律求解出加速度；然后运用运动学公式求解位移．

解答 解：（1）小球从A运动到B为平抛运动，有：
rsin45°=v₀t
在B点，有：tan45°=$\frac{gt}{{v}_{0}}$
解以上两式得：v₀=2m/s，t=0.2s
则AB竖直方向的距离为：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{1}{2}×10×0.04=0.2m$，
OB竖直方向距离为：h′=rsin45°=0.4m，
则OA=h+h′=0.2+0.4=0.6m
（2）在B点据平抛运动的速度规律有：v_B=$\frac{{v}_{0}}{sin45°}=2\sqrt{2}$m/s
小球在管中的受力分析为三个力：由于重力与外加的力F平衡，故小球所受的合力仅为管的外轨对它的压力，得小球在管中做匀速圆周运动，由圆周运动的规律得细管对小球的作用力为：N=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{r}$=5$\sqrt{2}$N
根据牛顿第三定律得小球对细管的压力为：N′=N=5$\sqrt{2}$N；
（3）在CD上滑行到最高点过程，根据牛顿第二定律得：
mgsin45°+μmgcos45°=ma
解得：a=g（sin45°+μcos45°）=$8\sqrt{2}$m/s²
根据速度位移关系公式，有：
$x=\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2a}=\frac{8}{2×8\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}m$．
答：（1）小球从O点的正上方某处A点水平抛出的初速度v₀为2m/s，OA的距离为0.6m；
（2）小球在圆管中运动时对圆管的压力是5$\sqrt{2}$N；
（3）小球在CD斜面上运动的最大位移为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$m．

点评 本题主要考查了平抛运动的基本规律及向心力公式的应用，解题时注意结合几何关系，难度适中．