Question

（14分）如图所示，质量为m可看作质点的小球从静止开始沿斜面由点A滑到点B后，进入与斜面平滑连接的1/4竖直圆弧管道BC，管道出口为C，圆弧管道半径R＝15cm，A、B的竖直高度差h＝35cm，在紧靠出口C处有一水平放置且绕其水平轴匀速旋转的圆筒（不计筒皮厚度），筒上开有小孔D，筒旋转时小孔D恰好能经过出口C处。若小球射出C口时，恰好能接着穿过D孔，并且再从D孔向上穿出圆筒，小球返回后又先后两次向下穿过D孔而未发生碰撞，不计摩擦和空气阻力，问：

（1）小球到达C的速度v_C为多少？
（2）圆筒转动的最大周期T为多少？
（3）在圆筒以最大周期T转动的情况下，要完成上述运动圆筒的半径R’必须为多少？

Answer 1

（1）v₀＝2m/s（2）0.2s（3）0.075m

（1）A®C：mgh＝mgR＋ mv₀²（2分），得v₀＝2m/s（1分），
（2）向上穿出时间t₁＝T，k＝1,2,¼（2分），
穿出后到最高点时间t₂＝T，n＝1,2,¼（2分），
又v₀＝g（t₁＋t₂）（1分），得T＝s，当n＝k＝1时T_max＝0.2s（2分），
（3）2R’＝v₀t₁－gt₁²（2分），得R’＝0.075m（2分），
本题考查动能定理和圆周运动规律的应用，由A到C应用动能定理可求得C点速度大小，由于圆筒转动的周期性，经过半个周期的奇数倍时物体能从C点穿出，于是得到周期T的表达式，由此N=1时周期最大，当圆通取最大周期时，小球在圆通内做竖直上抛运动，位移为2R，由此可求得圆筒半径大小