Question

如图所示，在绝缘光滑的水平面上，有一个质量为m、边长为L的正方形线框，用一垂直于ab 边的恒定外力将正方形线框以速率v₁匀速拉进磁感应强度为B的有界匀强磁场区域，当正方形线框全部进入磁场后立即将外力撤去，线框最终能完全离开磁场，若测得cd边刚要离开磁场时速率为v₂，已知磁场方向竖直向下，宽度为5L，正方形线框每条边的电阻均为R，求：
（1）恒定外力的大小；
（2）线框ab边刚进磁场到刚要出磁场时所用时间t和cd边刚要离开磁场时的电势差Ucd；
（3）整个过程中产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析：（1）外力将线框匀速拉进匀强磁场区域，外力与安培力二力平衡．根据公式E₁=Blv₁、I₁=

E1

4R

、F_安=BI₁l求得安培力，即可由平衡条件求出外力的大小．
（2）线框ab边刚进磁场时做匀速直线运动，撤去外力后完全进入磁场，没有感应电流产生，不受安培力，在未出磁场前仍是匀速运动，所以t=

5l

v1

．
cd边刚要离开磁场时，根据E₂=Blv₂、I₂=

E2

4R

求出感应电流，由欧姆定律求电势差U_cd．
（3）根据功能关系求整个过程中产生的焦耳热Q．

解答：解：（1）线框ab边刚进入磁场时，E₁=Blv₁，
线框中感应电流  I₁=

E1

4R

，
安培力F_安=BI₁l，
线框进入磁场时做匀速运动，F_外=F_安．
联立以上各式得：外力F_外=

B2l2v1

4R

（2）线框ab边刚进磁场时做匀速直线运动，撤去外力后完全进入磁场，没有感应电流产生，不受安培力，在未出磁场前仍是匀速运动，则线框ab边刚进磁场到刚要出磁场时所用时间t=

5l

v1

．
cd边刚要离开磁场时，cd边产生的感应电动势 E₂=Blv₂、
此时回路中感应电流  I₂=

E2

4R

，
由欧姆定律得电势差U_cd=I₂?3R=-

3

4

Blv₂（因为d点电势低于c点电势）
（3）进入磁场过程中产生的焦耳热等于克服安培力做功，即Q₁=F_安l=

B2l3v1

4R

穿出磁场过程中，产生的焦耳热为Q₂=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

所以全过程产生的焦耳热为Q=Q₁+Q₂=

B2l3v1

4R

+

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

答：
（1）恒定外力的大小是

B2l2v1

4R

；
（2）线框ab边刚进磁场到刚要出磁场时所用时间t为

5l

v1

．
cd边刚要离开磁场时的电势差U_cd是-

3

4

Blv₂．
（3）整个过程中产生的焦耳热Q是

B2l3v1

4R

+

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

．

点评：安培力是联系电磁感应与力学知识的桥梁，要熟练地由法拉第电磁感应定律、欧姆定律推导出安培力表达式．