Question

如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在-

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m≤x≤0的区域内有磁感应强度大小B=4.0x10^-4T、方向垂直于纸面向里的条形匀强磁场，其左边界与x轴交于P点；在x≥0的区域内有电场强度大小E=4N/C、方向沿y轴正方向的条形匀强电场，其宽度d=2m．一质量m=6.4x10^-27kg、电荷量q=-3.2×10^-19C的带电粒子从P点以速度v=4×10⁴m/s沿与x轴正方向成α=60°角射入磁场，经电场偏转最终通过x轴上的Q点（图中未标出），不计粒子重力．求：
（1）带电粒子在磁场中运动的时间t．
（2）Q点的横坐标x．

Answer 1

分析：（1）根据带电粒子在磁场中运动的轨道半径公式和周期公式求出粒子做圆周运动半径和周期大小，通过几何关系确定做圆周运动的圆形角，从而求出粒子在磁场中运动的时间．
（3）由几何关系得，粒子离开磁场后，垂直于电场线进入电场，做类平抛运动．出电场后做匀速直线运动，将该运动分解为x方向和y方向，结合牛顿第二定律和运动学公式求出Q点的横坐标．

解答：解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有：
qvB=m

v2

r

．
解得：r=2m
如图所示，过P点做v的垂线交y轴于O₁点，由几何关系得：
PO1=

PO

sinα

=2m
可见，PO₁=r，所以，O₁为粒子运动轨迹的圆心．
轨迹交y轴于C点，圆心角为α=60°，所以，粒子在磁场中运动的时间为：
t=

α

360°

T
其中：T=

2πm

qB

解得：t=5.23×10^-5s
（2）带电粒子离开磁场后，垂直于电场线进入电场，做类平抛运动．
粒子在电场中的加速度为：a=

qE

m

=2.0×108m/s2
在电场中的运动时间为：t1=

d

v

=5.0×10-5s
刚离开电场的瞬间，粒子沿y方向的分速度和位移分别为：
vy=at1=1.0×104m/s
y1=

1

2

at12=0.25m．
粒子射出电场后，做匀速直线运动，设又经时间t₂到达x轴上Q点，则：
t2=

yoc-y1

vy

=

(r-rcosα)-y1

vy

=7.5×10-5s
由几何关系可得，Q点的x坐标为：x=d+vt₂
代入数据解得：x=5.0m．
答：（1）带电粒子在磁场中运动的时间t=5.23×10^-5s．
（2）Q点的横坐标x为5.0m．

点评：解决本题的关键理清带电粒子在整个过程中的运动情况，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解，本题对数学几何的能力要求较高．