Question

在竖直平面内，以虚线为界分布着如图所示的匀强电场和匀强磁场，其中匀强电场方向向上，大小为E；匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B．虚线与水平线之间的夹角为θ=45°，一带电粒子从O点以速度v0水平射入匀强磁场，已知带负电粒子电荷量为q，质量为m，（重力忽略不计，电场、磁场区域足够大）．
（1）求带电粒子第1次通过虚线时，粒子距O点的距离？
（2）当带电粒子第4次通过虚线时，求粒子距O点的距离和粒子经历的时间．

Answer 1

分析：（1）画出粒子运动的轨迹，根据洛伦兹力提供向心力求出运动半径，根据几何关系即可求解；
（2）粒子在磁场中做圆周运动，求出运动时间，第一次进入电场时做匀减速直线运动，求出运动时间，带电粒子将从B点反向加速重新进入磁场，再次求出运动的时间，带电粒子从C点再次进入电场中做类平抛运动，求出第四次进入磁场的时间，根据几何关系求解粒子距O点的距离．

解答：解：如图所示：
（1）带电粒子在磁场中运动半径为：r=

mv0

Bq

，
因为θ=45°，根据几何关系，带电粒子从O运动到A为

3

4

圆周，解得xOA=

2

r=

2 mv0

Bq

（2）因为T=

2πm

Bq

，带电粒子从O运动到A为

3

4

圆周，则带电粒子在磁场中运动时间为
t1=

3

4

T=

3πm

2Bq

粒子从A点进入电场，受到电场力F=qE，则在电场中加速度大小为：a=

qE

m

从A到B的时间为：tAB=

v0

a

=

mv0

qE

带电粒子将从B点反向加速重新进入磁场，由几何关系可知，带电粒子从A到C为

1

4

圆周，则：
再一次在磁场中运动t1=

1

4

T=

πm

2Bq

xAC=xOA=

2 mv0

Bq

带电粒子从C点再次进入电场中做类平抛运动
X=v₀t_CD
Y=

1

2

atCD2
Y=Xtanθ
得 tCD=

2mv0

qE

 
X=Y=

2mv02

qE

由于XCD=

X2+Y2

=

2 2 mv02

qE

所以第四次到电场与磁场分界虚线距O点距离为
△X=X_OA+X_AC+X_CD=

2 2 mv0 (E+vB)

BqE

第四次到达电场与磁场分界虚线的总时间为
t=t₁+2t_AB+t₂+t_CD=

2πm

Bq

+

4mv0

qE

答：（1）求带电粒子第1次通过虚线时，粒子距O点的距离为

2 mv0

Bq

；
（2）当带电粒子第4次通过虚线时，粒子距O点的距离为

2 2 mv0 (E+vB)

BqE

，粒子经历的时间为

2πm

Bq

+

4mv0

qE

．

点评：本题是带电粒子在组合场中运动的问题，粒子在电场中偏转做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，要求同学们能画出粒子运动的轨迹，结合几何关系求解，难度较大．