Question

15．如图，A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OCA=30°，OC的长度为L．在△OCA区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．质量为m、电荷量为q的带负电粒子，从坐标原点射入磁场．不计重力．
（1）若粒子沿+y方向射入磁场，当初速度满足什么条件时，粒子在磁场中运动的时间为定值；
（2）大量初速度大小为v=$\frac{qBL}{2m}$的粒子以不同的方向射入第一象限，求从AC边射出的粒子在磁场中运动的最短时间，及该粒子的入射方向与+x的夹角．

Answer 1

分析 （1）粒子转过半圆从OA边射出时时间为定值，速度最大的粒子与AC边相切，画出粒子运动轨迹，根据几何关系求解半径，根据洛伦兹力提供向心力求解最大速度；
（2）要使粒子在磁场中经过的时间最短，需使粒子轨迹对应的弦长最短，所以过O点做垂直于CA的线段为最短的弦，根据几何关系求解圆心角和粒子的入射方向与+x的夹角．

解答 解：粒子转过半圆从OA边射出时时间为定值，速度最大的粒子与AC边相切，如图所示，

根据几何关系可得：R=Ltan15°=（2-$\sqrt{3}$）L，
根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\frac{qBL}{m}（2-\sqrt{3}）$，
所以满足条件的粒子速度范围为：0＜v≤$\frac{qBL}{m}（2-\sqrt{3}）$；
（2）粒子速度大小相等，要使粒子在磁场中经过的时间最短，需使粒子轨迹对应的弦长最短，所以最短时间的轨迹如图所示，

粒子在磁场中的运动半径为：$r=\frac{mv}{qB}=\frac{L}{2}$，
轨迹图中几何关系可得CD=Lsin30°=$\frac{L}{2}$，
由此可知粒子轨迹对应的圆心角为60°；
最短时间为：t=$\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}×\frac{2πm}{qB}=\frac{πm}{3qB}$，
由图可知，粒子入射方向与+x轴的夹角为$θ=\frac{π}{3}$．
答：（1）若粒子沿+y方向射入磁场，当初速度满足0＜v≤$\frac{qBL}{m}（2-\sqrt{3}）$时，粒子在磁场中运动的时间为定值；
（2）从AC边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为$\frac{πm}{3qB}$，该粒子的入射方向与+x的夹角为$\frac{π}{3}$．

点评 对于带电粒子在磁场中的运动情况分析，一般是确定圆心位置，根据几何关系求半径，结合洛伦兹力提供向心力求解未知量；根据周期公式结合轨迹对应的圆心角求时间．