Question

如图所示，直角坐标系中直线AB与横轴x夹角∠BAO=30°，AO长为a．假设在点A处有一放射源可沿∠BAO所夹范围内的各个方向放射出质量为m、速度大小均为v、带电量为e的电子，电子重力忽略不计．在三角形ABO内有垂直纸面向里的匀强磁场，当电子从顶点A沿AB方向射入磁场时，电子恰好从O点射出．试求：
（1）从顶点A沿AB方向射入的电子在磁场中的运动时间t；
（2）速度大小为2v的电子从顶点A沿AB方向射入磁场（其它条件不变），求从磁场射出的位置坐标．
（3）磁场大小、方向保持不变，改变匀强磁场分布区域，使磁场存在于三角形ABO内的左侧，要使放射出的速度大小为v电子穿过磁场后都垂直穿过y轴后向右运动，试求匀强磁场区域分布的最小面积S．（用阴影表示最小面积）

Answer 1

分析：（1）粒子做圆周运动，根据粒子在磁场中运动的半径公式和周期公式可以求得粒子的运动的时间；
（2）根据洛伦兹力提供向心力的公式，求出电子运动的半径，然后做出以AB方向发射的电子在磁场中的运动轨迹，最后由几何关系确定电子从磁场射出的位置坐标．
（3）根据所有的电子最后都垂直穿过y轴后向右运动，做出电子的运动的轨迹，根据几何关系可以求得左侧边界虚线的曲线方程．

解答：解：（1）根据题意，电子在磁场中运动的轨迹如图1，则根据几何关系得电子在磁场中的运动的轨道半径R=a，
由evB=

mv2

a

  
得：B=

mv

ea

   
由T=

2πm

eB

  
得：t=

60°

360°

T=

T

6

=

πa

3v

 
（2）速度大小为2v的电子从顶点A沿AB方向射入磁场时，由洛伦兹力提供向心力得：
e?2vB=

m(2v)2

r

得：r=

m?2v

eB

=2a
其运动的轨迹如图2，则电子从y轴上射出点的位置：
y=r-OO′=2a-

3

a
所以从磁场射出的位置坐标：（0，2a-

3

a）
（3）要使匀强磁场区域分布的最小面积，有界磁场的上边界为以AB方向发射的电子在磁场中的运动轨迹与AO中垂线交点的左侧圆弧，
有界磁场的下边界：以A点正上方、距A点的距离为a的点为圆心，以a为半径的圆弧． 如图3．
故最小磁场区域面积为：最小面积为：s=2(

πa2

12

-

1

2

a2sin30°)=

(π-3)

6

a2
答：（1）从顶点A沿AB方向射入的电子在磁场中的运动时间t=

πa

3v

；
（2）速度大小为2v的电子从顶点A沿AB方向射入磁场（其它条件不变），从磁场射出的位置坐标：（0，2a-

3

a）．
（3）磁场的最小面积为：

(π-3)

6

a2．

点评：本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．