Question

3．如图所示，固定点O系一长度L=20cm的绝缘线绳，绳的一端拴一质量m=1.0×10^-4kg、电量q=4.9×10^-10C的带电小球，整个装置处在足够大的方向水平向右的匀强电场中，场强E=1.5×10⁶V/m．求：
（1）小球静止时悬线与竖直方向的夹角出θ；
（2）使小球在竖直平面内做圆周运动，小球经过最低点A时的速度至少要多大？

Answer 1

分析 （1）小球静止时合力为零，根据平衡条件求夹角θ．
（2）要使小球在竖直平面内做圆周运动，小球必须通过物理最高点，即通过C点关于O的对称点D，恰好通过D点时，由重力和电场力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出D点的最小速度，再由动能定理求小球经过最低点A时的最小速度．

解答 解：（1）小球静止时受力平衡，由平衡条件得：
  tanθ=$\frac{qE}{mg}$=$\frac{4.9×1{0}^{-10}×1.5×1{0}^{6}}{1×1{0}^{-4}×9.8}$=0.75
则θ=37°
（2）电场力和重力的合力大小 F=mg/cosθ≈1.23×10^-3N
如图，当小球恰好通过C点关于O点的对称性D点时，小球经过最低点A时速度最小．
在D点有：F=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{L}$
从A点到D点，由动能定理有：-mgL（1+cosθ）-qELsinθ=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
联立解得 v_A≈6.3m/s
答：
（1）小球静止时悬线与竖直方向的夹角θ是37°；
（2）使小球在竖直平面内做圆周运动，小球经过最低点A时的速度至少要为6.3m/s．

点评 解决本题的关键要找到物理最高点，明确此最高点的临界条件是绳子拉力为零，由重力和电场力的合力充当向心力．