Question

4．有-个可视为质点的小物块，质量为m=lkg，小物块从光滑平台上的A点水平抛出，经过0.24s到达C点时，恰好沿C点的切线方问进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M=2kg的长木板，如图所示，己知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.2，圆弧轨道的半径为R=5m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ=37°（sin37°=0.6），不计空气阻力，g取10m/s²，求：

（1）小物块刚到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
（2）要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少多大．
（3）4s末木板右端到D的距离．

Answer 1

分析 （1）根据速度时间公式求出小球到达C点时竖直分速度，结合平行四边形定则求出C点的速度，根据机械能守恒定律求出D点，结合牛顿第二定律得出D点的支持力，根据牛顿第三定律求出小物块对D点的压力大小．
（2）木块和木板组成的系统，动量守恒，结合动量守恒定律求出共同的速度，根据能量守恒求出木板的至少长度．
（3）根据动能定理求出长木板的位移，结合牛顿第二定律和运动学公式求出4s末木板右端到D的距离．

解答 解：（1）小物块从A到C过程做平抛运动，因恰好沿C点的切线方向进入圆弧轨道，则小物块在C点处竖直方向速度大小为：v_y=gt=10×0.24m/s=2.4m/s，
则小物块在C点时的大小为：v_C=$\frac{{v}_{y}}{sin37°}=\frac{2.4}{0.6}m/s=4m/s$．
物块由C到D的过程中，由机械能守恒定律得：
mgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv²
代入数据解得：v_D=6m/s．
小物块在D点时圆弧轨道对小物块的支持力大小为F_N，由牛顿第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入数据解得：F_N=17.2N．
由牛顿第三定律得，小物块刚到D点时对轨道的压力大小为：F_N′=F_N=17.2N，
方向竖直向下．
（2）设小物块刚好滑到木板左端且二者达到共同速度的大小为v．小物块在木板上滑行的过程中，与长木板组成的系统动量守恒．由：mv_D=（m+M）v，
代入数据解得：v=2m/s
由功能关系有：fl=$\frac{1}{2}$mv²_D-$\frac{1}{2}$（m+M）v²
其中f=μmg=2N，
解得：L=6m．
（3）对M有：fx₁=$\frac{1}{2}$Mv²-0  
代入数据解得：x₁=2m．
a=$\frac{f}{M}$=1m/s²
t₁=$\frac{v}{a}$=2s
x₂=v（t-t₁）=4m
x=x₁+x₂=6m．
答：（1）小物块刚到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力为17.2N
（2）要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少6m．
（3）4s末木板右端到D的距离为6m．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律、能量守恒定律等知识，综合性较强，关键理清物块的运动过程，选择合适的规律进行求解．