Question

17．如图所示，两根竖直固定放置的无限长光滑金属导轨，电阻不计，宽度为L，上端接有电阻R₀，导轨上接触良好地紧贴一质量为m、有效电阻为R的金属杆ab，R=2R₀．整个装置处于垂直于导轨平面的匀强磁场中，金属杆ab由静止开始下落，下落距离为h时重力的功率刚好达到最大，设重力的最大功率为P．求：
（1）磁感应强度B的大小．
（2）金属杆从开始下落到重力的功率刚好达到最大的过程中，电阻R₀产生的热量．

Answer 1

分析 （1）金属杆ab重力的功率刚好达到最大时速度最大，做匀速运动，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力得到安培力的表达式，由公式P=Fv，得到安培力，再由平衡条件求解．
（2）运用能量守恒定律列式，求出金属棒从静止开始下降高度h过程中产生的总热量，再求解R₀产生的热量．

解答 解：（1）重力功率最大即金属棒的速度最大时，设金属棒下落的最大速度为v_m，有 P=mgv_m，
得：v_m=$\frac{P}{mg}$…①
此时，ab棒受到的安培力等于重力，即：F_安=mg…②
又F_安=BIL…③
 I=$\frac{E}{{R}_{0}+R}$…④
 E=BLv_m…⑤
由①②③④⑤式得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{3{R}_{0}}$=mg…⑥
由①⑥式得：B=$\frac{mg}{L}$$\sqrt{\frac{3{R}_{0}}{P}}$．
（2）据能量守恒定律，金属棒从静止开始下降高度h过程中有：
mgh=Q+$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
则有：Q=mgh-$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$…⑦
由①⑦两式得：Q=mgh-$\frac{{P}^{2}}{2m{g}^{2}}$…⑧
而R₀上产生的热量 Q′=$\frac{1}{3}Q$…⑨
由⑧⑨两式得：Q′=$\frac{2{m}^{2}{g}^{3}h-{P}^{2}}{6m{g}^{2}}$
答：（1）磁感应强度B的大小是$\frac{mg}{L}$$\sqrt{\frac{3{R}_{0}}{P}}$．
（2）金属杆从开始下落到重力的功率刚好达到最大的过程中，电阻R₀产生的热量是$\frac{2{m}^{2}{g}^{3}h-{P}^{2}}{6m{g}^{2}}$．

点评 当杆做匀速运动时速度最大，应用平衡条件、安培力公式、能量守恒定律即可正确解题．分析清楚杆的运动过程，要明确杆做匀速运动时速度最大．