Question

16．在xOy平面上以O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面，一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，从原点O以某一初速度v₀沿y轴正方向开始运动，一段时间后经过x轴上的P点，此时速度与x轴方向夹角θ=30°，如图所示，不计重力的影响，求：
（1）带电粒子的初速度v₀的大小；
（2）带电粒子由O到P的运动时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据题意作出粒子运动轨迹，求出粒子轨道半径，然后应用牛顿第二定律求出粒子初速度．
（2）根据粒子做圆周运动的周期公式与转过的圆心角求出粒子的运动时间，然后求出离开磁场的运动时间，再求出总的运动时间．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示：
由几何知识得：Rsin60°=$\frac{r}{2}$，
解得：R=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
解得：v₀=$\frac{\sqrt{3}qBr}{3m}$；
（2）粒子在磁场中转过的圆心角：α=120°，
粒子在圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子在磁场中的运动时间：t₁=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{2πm}{3qB}$，
粒子离开磁场到P点过程做匀速直线运动，
位移：s=Rtan60°=r，
粒子离开离开磁场到P点的运动时间：t₂=$\frac{s}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$，
带电粒子由O到P的运动时间：t=t₁+t₂=$\frac{2πm+3\sqrt{3}m}{3qB}$；
答：（1）带电粒子的初速度v₀的大小为$\frac{\sqrt{3}qBr}{3m}$；
（2）带电粒子由O到P的运动时间为$\frac{2πm+3\sqrt{3}m}{3qB}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是解题的关键，应用牛顿第二定律周期公式可以解题，解题时注意几何知识的应用．