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我国降雨呈现南多北少的局面，有资料标明武汉市的年平均降雨量为1260mm．在下雨天我们会明显感觉到雨点越大，雨点对雨伞的冲击力也就越大，这一现象能否说明雨点越大，雨点落到地面的速度也就越大呢？现已知雨点下落过程受到的空气阻力与雨点的最大横截面积成正比，与雨点下落的速度v的平方成正比，即f=kSv²（其中k为比例比例系数）．雨点接近地面时近似看作匀速直线运动，重力加速度为g．若把雨点看作球形，其半径为r，球体的体积为 $数学公式$ ，雨点的密度为ρ，求：
（1）雨点最终的运动速度v_m．（用ρ、r、g、k表示）
（2）遇到的速度达到 $数学公式$ 时，雨点的加速度a的大小．

解：（1）雨点在下落过程中受到重力和空气阻力作用，由于雨点接近地面时看做匀速运动，所以有：
f=mg　
由题意知：f=kSv²　
S=πr²　
m=ρ? $\text{[math]}$ πr³　
联立解得：v_m=2 $\text{[math]}$ ．
（2）当雨点的速度达到 $\text{[math]}$ 时，空气的阻力f′=kS（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ f　
由牛顿第二定律得：mg-f′=ma　
解得：a= $\text{[math]}$ g．
答：（1）雨点最终的运动速度v_m= $\text{[math]}$ （2）雨点的加速度a为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）雨点在下落过程中受到重力和空气阻力作用，由于雨点接近地面时看做匀速运动，受力平衡，重力等于摩擦力，由f=kSv²及球体质量为ρV=ρ $\text{[math]}$ ，即可求解；
（2）根据瞬时速度表示出空气阻力，有牛顿第二定律即可求解．
点评：本题是实际问题与物理模型相结合的题目，主要考查二力平衡和牛顿第二定律的应用，难度不大，属于基础题．

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4πr3

，雨点的密度为ρ，求：
（1）雨点最终的运动速度v_m．（用ρ、r、g、k表示）
（2）遇到的速度达到

时，雨点的加速度a的大小．

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雨点的密度为ρ，求：
（1）雨点最终的运动速度v_m（用ρ、r、g、k表示）；
（2）当雨点下落的速度达到

时，雨点的加速度a的大小。

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（9分）我国降雨呈现南多北少的局面，有资料标明武汉市的年平均降雨量为1260mm。在下雨天我们会明显感觉到雨点越大，雨点对雨伞的冲击力也就越大，这一现象能否说明雨点越大，雨点落到地面的速度也就越大呢？现已知雨点下落过程受到的空气阻力与雨点的最大横截面积成正比，与雨点下落的速度v的平方成正比，即f＝kSv²（其中k为比例比例系数）。雨点接近地面时近似看作匀速直线运动，重力加速度为g。若把雨点看作球形，其半径为r，球体的体积为，雨点的密度为ρ，求：

（1）雨点最终的运动速度v_m。（用ρ、r、g、k表示）

（2）遇到的速度达到时，雨点的加速度a的大小。

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