Question

如图所示，倾角为30°的足够长光滑斜面下端与一足够长光滑水平面相接，连接处用一光滑小圆弧过渡，斜面上距水平面高度分别为h₁＝5m和h₂＝0.2m的两点上，各静置一小球A和B。某时刻由静止开始释放A球，经过一段时间t后，再由静止开始释放B球。g取10m/s²，求：

（1）为了保证A、B两球不会在斜面上相碰，t最长不能超过多少?
（2）若A球从斜面上h₁高度处自由下滑的同时，B球受到恒定外力作用从C点以加速度a由静止开始向右运动，则a为多大时，A球有可能追上B球？

Answer 1

1) t＝1.6s    2)a=2.5m/s²

试题分析：1）两球在斜面上下滑的加速度相同，设加速度为a，根据牛顿第二定律有：
mgsin30º＝ma，    
解得：a＝5m/s²
设A、B两球下滑到斜面底端所用时间分别为t₁和t₂，
则：h₁/sin30⁰=at²₁/2, h₂/sin30⁰=at²₂/2,
解得：t₁＝2s，t₂＝0.4s  
为了保证A、B两球不会在斜面上相碰，t最长不能超过 t＝t₁－t₂＝1.6s     
(2)设A球在水平面上再经t₀追上B球，则：a(t₁+t₂)²/2=gsin30⁰ t₁ t₀
A球要追上B球，方程必须有解，Δ≥0，解得a≤gsin30⁰/2,即a≤g/4=2.5m/s²