Question

【题目】如图所示，竖直平面内固定一光滑轨道ABCD，分别由弧面AB段、水平面BC段和半圆弧面CD段组成，三段轨道分别在B点和C点平滑连接，已知半圆弧面半径为R，直径DOC垂直BC。大小相同的小球从左到右依次编号为1、2、3……、N，间隔一定距离静止在水平轨道上，已知每个小球的质量为其相邻左边小球质量的k倍（k<1）。将质量为m的1号小球置于弧面AB段高出水平面BC为的位置，由静止释放，在水平轨道上与2号小球碰撞，2号小球再与3号小球碰撞……。所有碰撞均为对心正碰且无机械能损失，重力加速度为g。求：

(1)1号小球与2号小球碰撞之后，2号小球的速度大小；

(2)当N=3时第3个小球滑上圆轨道后对C点的压力；

(3)为保证N=5时第5个小球在第一次被碰撞后不会脱离半圆轨道，求k的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）v2=；（2）k2mg［+1］；方向竖直向下；（3）k1；或者k-1

【解析】

（1）根据动量守恒定律和机械能守恒求解1号小球与2号小球碰撞之后，2号小球的速度大小；（2）根据动量守恒定律和机械能守恒求解3号小球被碰后的速度，应用牛顿第二定律可得第3个小球滑上圆轨道后对C点的压力；（3）根据小球不脱离轨道的条件以及能经过最高点的条件求解.

（1）设1号碰前的速度为v1，对于1号小球由释放点运动到最低点过程，根据机械能守恒有

设1号、2号小球碰撞后的速度分别为v1′和v2，取水平向右为正方向。

设2号小球的质量为m2，对于1、2号小球碰撞的过程，根据动量守恒定律有

根据机械能守恒有

解得：

（2）设2号、3号小球碰撞后的速度分别为v2′和v3，对于2、3号小球碰撞的过程，根据动量守恒定律有

根据机械能守恒有

同理可解得：3号小球被碰后的速度

在C点，对3号小球应用牛顿第二定律可得

根据牛顿第三定律3号小球对轨道的压力

方向竖直向下

（3）由（2）中的结果可推知5号小球被碰后的速度

5号小球第一次被碰撞后不会脱离半圆轨道需满足：

情况Ⅰ：

情况Ⅱ：

且在最高点满足：

解得

或者