Question

（2004?江苏）如图所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上．一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物．忽略小圆环的大小．
（1）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上（如图）．在两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M=

2

m的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M．设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离．
（2）若不挂重物M，小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态？

Answer 1

分析：（1）对系统受力分析可知，系统不受摩擦力的作用，所以系统的机械能守恒，M减小的机械能应该等于m增加的机械能，列出方程可以求得M下降的最大的距离；
（2）要使物体受力平衡，每个环的受力都要平衡，当环受到的力在竖直面上时，此时的受力情况最简单，只要竖直方向上受力平衡即可，当不在同一个竖直面上时，环受到三个力的作用处于三力平衡的状态，列示可以求得夹角的大小．

解答：解：（1）重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大．
设下降的最大距离为h，由机械能守恒定律得
Mgh=2mg[

h2+(Rsinθ)2

-Rsinθ]
解得    h=

2

R（另解h=0舍去）．
所以重物M下降的最大距离为

2

R．
（2）系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为：
a．两小环同时位于大圆环的底端．
b．两小环同时位于大圆环的顶端．
c．两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端．
d．除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称．
设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上（如图所示）．
对于重物m，受绳子拉力T与重力mg作用，有T=mg对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳子的拉力T、竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力N两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反Tsinα=Tsinα’得α=α’，而α+α’=90°，所以a=45°

点评：本题中在应用机械能守恒的时候，由于不知道M和m距离地面的高度也不知道绳的具体的长度如何，所以本题不能采用初态的机械能等于末态的机械能来计算，要采用M减小的机械能等于m增加的机械能来计算．