Question

7．如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑的小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速度v₀，若v₀大小不同，则小球能够上升到的最大高度（距离底部）也不同，下列说法正确的是（　　）

• A． 如果v₀=$\sqrt{gR}$，则小球能够上升的最大高度为$\frac{R}{2}$
• B． 如果v₀=$\sqrt{2gR}$，则小球能够上升的最大高度为R
• C． 如果v₀=$\sqrt{3gR}$，则小球能够上升的最大高度为$\frac{3R}{2}$
• D． 如果v₀=$\sqrt{5gR}$，则小球能够上升的最大高度为2R

Answer 1

分析 先根据机械能守恒定律求出在此初速度下能上升的最大高度，再根据向心力公式判断在此位置速度能否等于零即可求解．

解答 解：A、当v₀=$\sqrt{gR}$，根据机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mgh，解得h=$\frac{R}{2}$，即小球上升到高度为$\frac{R}{2}$时速度为零，所以小球能够上升的最大高度为$\frac{R}{2}$．故A正确．
B、设小球恰好能运动到与圆心等高处时在最低点的速度为v，则根据机械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv2，解得v=$\sqrt{2gR}$．故如果v₀=$\sqrt{2gR}$，则小球能够上升的最大高度为R．故B正确．
C、设小球恰好运动到圆轨道最高点时在最低点的速度为v₁，在最高点的速度为v₂．
则在最高点，有mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
从最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律得：2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，解得 v₁=$\sqrt{5gR}$，所以v₀=$\sqrt{3gR}$＜$\sqrt{5gR}$时，小球不能上升到圆轨道的最高点，会脱离轨道，在最高点的速度不为零．根据 $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mgh+$\frac{1}{2}$mv′²，知最大高度 h＜$\frac{3R}{2}$．故C错误．
D、当v₀=$\sqrt{5gR}$，由上分析知，上升的最大高度为2R．故D正确．
故选：ABD

点评 本题主要考查了机械能守恒定律在圆周运动中的运用，要判断在竖直方向圆周运动中哪些位置速度可以等于零，哪些位置速度不可以等于零．要明确最高点临界速度的求法：重力等于向心力．