Question

13．如图甲所示，两根足够长的金属导MN、PQ平行放置，且与水平方向成θ角，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab垂直放在两导轨上，导轨和金属杆接触良好，整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻、以及它们之间的摩擦可忽略，现让ab杆沿导轨由静止开始下滑．
（1）由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；
（2）求在加速下滑的过程中，当ab杆的速度大小为v时，ab杆中的电流及其加速度的大小；
（3）在下滑过程中，若ab杆下降高度为h时，速度恰好达到最大值．求速度最大值及杆下降h高度的过程中电阻R产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）对ab进行受力分析，然后作出受力示意图；
（2）由E=BLv求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，由牛顿第二定律求出加速度．
（3）ab杆匀速运动时速度最大，由平衡条件求出最大速度，然后又能量守恒定律求出电阻产生的热量．

解答 解：（1）重力mg竖直向下，支持力N垂直斜面向上，安培力F沿斜面向上，如图所示．  

（2）当ab杆速度为v时，感应电动势：E=BLv，
此时电路中电流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$          
ab杆受到安培力：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$ 
根据牛顿运动定律，有：mgsinθ-F=ma  
解得：a=gsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$；
（3）当ab杆达到最大速度v_m时有：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$=mgsinθ   
解得：v_m=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
ab杆下滑过程由能量守恒得：mgh=$\frac{1}{2}$mv_m²+Q，
解得：Q=mgh-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；
答：（1）ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图如图所示；
（2）在加速下滑的过程中，当ab杆的速度大小为v时，ab杆中的电流为$\frac{BLv}{R}$，加速度的大小为：gsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$；
（3）在下滑过程中，若ab杆下降高度为h时，速度恰好达到最大值．速度最大值为=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$，杆下降h高度的过程中电阻R产生的焦耳热为mgh-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题考查了作受力示意图、求电流与加速度、求最大速度与焦耳热，分析清楚运动过程、正确受力分析、应用E=BLv、欧姆定律、安培力公式、牛顿第二定律、平衡条件与能量守恒定律即可正确解题．