Question

在光滑的圆锥顶端用长为L的细绳悬有质量为m的小球，圆锥的顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球紧压锥面，此时绳的张力为______；要使小球离开锥面，则小球和锥面的角速度至少应为______.

Answer 1

解析：如图所示，小球受三个力作用：重力mg、锥面支持力F_N（垂直锥面向上）和绳的拉力F_t，在水平面内做匀速圆周运动，圆心在O′点，半径为r=Lsinθ.将F_N、F_t沿水平方向和竖直方向正交分解，应用牛顿第二定律得：

水平方向上：F_tsinθ-F_Ncosθ=mrω²；

竖直方向上：F_tcosθ+F_Nsinθ-mg=0，

以上三式联立解得绳子的张力大小为：

F_t=m(gcosθ+Lsin²θω²)

设小球和锥面转动的角速度为ω₀时，小球与锥面间的弹力F_N=0，此时小球即将脱离圆锥面，细绳与竖直方向的夹角仍为θ，小球在水平面内做匀速圆周运动所需的向心力由重力mg和绳子的拉力F_t的合力提供：mgtanθ=m(Lsinθ)ω₀²，于是求得ω₀=

答案：m(gcosθ+Lsin²θω²)