Question

12．跳伞运动员从跳伞塔上跳下，当降落伞打开后，伞和运动员所受的空气阻力大小跟下落速度的平方成正比，即f=kv²，已知比例系数k=20N•s²/m²，运动员和伞的总质量m=72kg．设跳伞塔足够高，且运动员跳离塔后即打开伞，取g=10m/s²．
（1）求下落速度达到v=3m/s时，跳伞运动员的加速度大小；
（2）求跳伞运动员最终下落的速度；
（3）若跳伞塔高 h=200m，跳伞运动员在着地前已经做匀速运动，求从开始跳下到即将触地的过程中，伞和运动员损失的机械能．（本问结果保留3位有效数字．）

Answer 1

分析 因为运动员受的空气阻力f=kv²和重力作用，可用牛顿第二定律解得其加速度；因为塔足够高，所以运动员一定会达到匀速运动状态，即重力与空气阻力平衡；损失的机械能是由于空气阻力，但是空气阻力是随速度变化的力，所以不能直接解出其所做的功，我们可以解出动能和重力势能之和一共减少多少，即损失了多少机械能．

解答 解：（1）因为运动员受的空气阻力f=kv²和重力作用，
由牛顿第二定律：mg-f=ma
解得：a=g-$\frac{k{v}^{2}}{m}$=7.5m/s²
（2）跳伞员最后匀速运动，
即重力与空气阻力平衡：mg=kv²
解得：v=6m/s
（3）损失的机械能是由于空气阻力，但是空气阻力是随速度变化的力，所以不能直接解出其所做的功，我们可以解出动能和重力势能之和一共减少多少，即损失了多少机械能．
损失机械能：△E=mgH-$\frac{1}{2}$mv²=1.43×10⁵J 
答：（1）跳伞员的下落速度达到3m/s时，其加速度为7.5m/s²．
（2）跳伞员最后下落速度为v=6m/s
（3）若跳伞塔高200m，则跳伞员从开始跳下到即将触地的过程中，损失了1.43×10⁵J 机械能．

点评 解此类综合性较强的题目，应把具体复杂过程分解为多个简单的过程，比如此题可分解为牛顿第二定律，受力平衡，功能关系．