Question

11．已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零．科学家设想在赤道正上方高d处和正下方深为d处各修建一环形轨道，轨道面与赤道面共面．现有A、B两物体分别在上述两轨道中做匀速圆周运动，若地球半径为R，轨道对它们均无作用力，则A、B两物体运动的向心加速度大小、线速度大小、角速度、周期之比为（　　）

• A． $\frac{R^3}{{{{（R+d）}^2}（R-d）}}$
• B． $\frac{R}{{{R^2}-{d^2}}}\sqrt{R（R+d）}$
• C． $\sqrt{\frac{R^3}{{{{（R+d）}^3}}}}$
• D． $2π\sqrt{\frac{{{{（R+d）}^3}}}{{{{（R-d）}^3}}}}$

Answer 1

分析 由于地球质量等于密度乘以体积，可得地球质量表达式；由万有引力提供向心力，对A、B分别列方程可得两物体速度和加速度之比；

解答 解：设地球密度为ρ，则有：
在赤道上方：
$\frac{Gρ\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}{（R+d）_{\;}^{2}}=\frac{{v}_{1}^{2}}{R+d}={a}_{1}^{\;}={ω}_{1}^{2}（R+d）=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}（R+d）$
在赤道下方：
$\frac{G\frac{4}{3}π（R-d）_{\;}^{3}}{（R-d）_{\;}^{2}}=\frac{{v}_{2}^{2}}{R-d}={a}_{2}^{\;}$=${ω}_{2}^{2}（R-d）$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}（R-d）$
解得：
$\frac{{a}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{{R}_{\;}^{3}}{（R+d）_{\;}^{2}（R-d）}$，故A正确；
$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\frac{R}{{R}_{\;}^{2}-{d}_{\;}^{2}}\sqrt{R（R+d）}$．故B正确；
$\frac{{ω}_{1}^{\;}}{{ω}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{（R+d）_{\;}^{3}}}$，故C正确；
$\frac{{T}_{1}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{（R+d）_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{3}}}$，故D错误；
故选：ABC

点评 本题主要掌握万有引力提供向心力的基本应用，要学会用数学方法表示球体质量，并正确应用万有引力提供向心力求解各物理量的表达式．