Question

14．如图所示，有一光滑轨道ABCD，其中AB沿竖直方向，BCD为竖直面内的半圆轨道，圆心在O，半径为R，B、O、D在同一水平面上．一个质量为m的小物块，以一初速度从A点向下沿轨道运动，不计空气阻力，若物块通过轨道的最低点C时的速度为v_C=3$\sqrt{gR}$，求：
（1）物块在C点对轨道的压力多大；
（2）物块在A点时的速度v₀；
（3）物块离开D点后能上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）在最低点根据牛顿第二定律求得相互作用力
（2）物块运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律列式，求解物块在A点时的速度v₀；
（3）物块离开D点后做竖直上抛运动，机械能守恒仍守恒，对整个过程列式可求得最大高度．

解答 解：（1）在最低点根据牛顿第二定律可知：${F}_{N}-mg=\frac{{mv}_{C}^{2}}{R}$，
解得：F_N=10mg
根据牛顿第三定律可知对轨道的压力为10mg
（2）物块从A到C过程，由机械能守恒定律得：
mg•3R=$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{A}^{2}$
由题意有：v_c=$3\sqrt{gR}$
解得：v₀=$\sqrt{3gR}$
（3）对整个过程，由机械能守恒得：
mg（h-2R）=$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$  
解得：h=3.5R
答：（1）物块在C点对轨道的压力为10mg；
（2）物块在A点时的速度v₀为$\sqrt{3gR}$
（3）物块离开D点后能上升的最大高度为3.5R．

点评 本题是机械能守恒定律的应用问题，关键要灵活选择研究对象，注意重力势能的相对性．