Question

地球上空有人造地球同步通讯卫星，它们向地球发射微波．但无论同步卫星数目增到多少个，地球表面上总有一部分面积不能直接收到它们发射来的微波，请导出这个面积S与地球表面积S₀之比的数学表达式；并根据提供的数据求出该比值至少为多大？
（结果要求保留两位有效数字．已知地球半径R0=6.4×106m，地球表面的重力加速度g=10m/s²，半径为R高、为h的球缺的表面积为S₁=2πRh，如图所示，球的表面积为S=4πR²）

Answer 1

（1）如图所示，因为同步卫星总是在赤道上空，其高度也是一定的．由它画一条到地球表面的切线，可见两极周围的区域内就收不到微波通讯．以m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离，T表示地球的自转周期，则对地球上质量为m₀的
物体有G

m0M

R02

=m0g，

                                                  

对地球同步卫星有G

mM

r2

=m(

2π

T

)2r
又根据几何关系有rsinθ=R₀
以S'表示某个极周围收不到微波区域的面积，则S′=2πR02(1-cosθ)
地球有两个极，因而接收不到微波区域的面积与地球表面积S₀之比为：

S

S0

=

2S′

S0

=1-

1-( 4π2R0 gT2 ) 2 3

（2）代入数据解得

2S′

S0

=0.011
答：不能直接收到它们发射来的微波面积S与地球表面积S₀之比的数学表达式是

S

S0

=1-

1-( 4π2R0 gT2 ) 2 3

，大小是0.011．