Question

11．如图所示，两平行绝缘板放置于竖直平面内，间距为d，板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子沿板的中心线从板的左端以速度v₀射入磁场，已知$\frac{mg}{qB}$＜v₀＜$\frac{2mg}{qB}$，现要使粒子在板间运动时，不触及板，且仍沿中心线射出磁场，求平行板的长度及板间距离d应满足的条件．

Answer 1

分析 粒子在磁场中受到重力和洛伦兹力的作用，洛伦兹力大于重力，可以将粒子受到的洛伦兹力分成两个部分，一部分与重力抵消，另一部分使粒子做圆周运动，所以粒子的运动可以看做是两部分组成，一部分恰好做匀速直线运动，重力与洛仑兹力平衡，另一部分是做匀速圆周运动；然后结合题目给出的条件即可正确解答．

解答 解：由分析可知，粒子的运动可以看做是两个分运动的合成：一个运动是匀速圆周运动，另一个分运动的匀速直线运动，所以粒子的速度也可以看做两部分组成，即可以将粒子的速度分解成v₁和v₂，其中：${v}_{1}=\frac{mg}{qB}$，则：${v}_{2}={v}_{0}-{v}_{1}={v}_{0}-\frac{mg}{qB}$
粒子以v₁ 做匀速直线运动，以v₂做匀速圆周运动，运动的半径r，则：$q{v}_{2}B=\frac{m{v}_{2}^{2}}{r}$，
得：$r=\frac{m{v}_{2}}{qB}$，
粒子做匀速圆周运动的周期：$T=\frac{2πr}{qB}=\frac{2Ωm}{qB}$
粒子在一个周期内向右运动的距离为：$x={v}_{1}T=\frac{2π{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$
若粒子仍沿中心线射出磁场，则运动的时间一定是周期的整数倍，所以极板的长度：L=nx=$\frac{2nπ{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$（n=1，2，3…）
粒子不打到极板上，则：$\frac{1}{2}d＞2r$，得：$d＞4r=\frac{4m{v}_{2}}{qB}=\frac{4m}{qB}（{v}_{0}-\frac{mg}{qB}）$
答：平行板的长度满足的条件是L=$\frac{2nπ{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$（n=1，2，3…），板间距离d应满足的条件$d＞\frac{4m}{qB}（{v}_{0}-\frac{mg}{qB}）$．

点评 该题考查带电粒子在混合场的运动，解题的关键是将粒子的运动分解成两个分运动：沿极板的中性线的运动与匀速直线运动，然后再分析这两个分运动才能正确解答．