Question

8．高明同学撑一把雨伞站在水平地面上，伞面边缘点所围圆形的半径为R，现将雨伞绕竖直伞杆匀速转动，伞边缘上的水滴落到地面，落点形成一个半径为r的圆形，伞边缘距离地面的高度为h，当地重力加速度为g，则（　　）

• A． 雨滴着地时的速度大小为$\sqrt{2gh}$
• B． 雨滴着地时的速度大小为$\sqrt{\frac{{r}^{2}-{R}^{2}+4{h}^{2}}{2h}g}$
• C． 雨伞转动的角速度大小为$\frac{1}{R}$$\sqrt{\frac{（{r}^{2}-{R}^{2}）g}{h}}$
• D． 雨伞转动的角速度大小为$\frac{r-R}{R}$$\sqrt{\frac{g}{2h}}$

Answer 1

分析 雨滴飞出后做平抛运动，根据高度求出运动的时间，根据几何关系根据水滴在地面上形成圆的半径求出平抛的水平位移，从而结合平抛运动的水平位移求出初速度，由v=ωR即可求出雨伞转动的角速度大小．

解答 解：AB、根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，解得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
画出俯视图，如图所示：

结合几何关系，平抛的水平分位移为：x=$\sqrt{{r}^{2}-{R}^{2}}$，
则平抛运动的初速度为：${v}_{0}=\frac{x}{t}=\frac{\sqrt{{r}^{2}-{R}^{2}}}{\sqrt{\frac{2h}{g}}}=\sqrt{{r}^{2}-{R}^{2}}•\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
下落的过程中机械能守恒，所以：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
联立以上方程，得：v=$\sqrt{\frac{{r}^{2}-{R}^{2}+4{h}^{2}}{2h}g}$，故A错误，B正确；
CD、根据公式：v₀=ωR得：ω=$\frac{{v}_{0}}{R}$=$\frac{{\sqrt{{r^2}-{R^2}}•\sqrt{\frac{g}{2h}}}}{R}=\sqrt{\frac{g}{2h}[{{（\frac{r}{R}）}^2}-1]}$，
故C错误，D错误；
故选：B

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合，对数学几何能力要求较高，关键作出雨滴在地面上的平面图．