Question

6．宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L．忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G．下列说法正确的是（　　）

• A． 每颗星做圆周运动的线速度为$\sqrt{\frac{3Gm}{{L}^{3}}}$
• B． 每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
• C． 若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍
• D． 若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的2倍

Answer 1

分析 先写出任意两个星星之间的万有引力，求每一颗星星受到的合力，该合力提供它们的向心力．
然后用R表达出它们的轨道半径，最后写出用周期和线速度表达的向心力的公式，整理即可的出结果．

解答 解：A、任意两个星星之间的万有引力F=$G\frac{mm}{{L}^{2}}$
每一颗星星受到的合力为：F₁=$\sqrt{3}$F
由几何关系知：它们的轨道半径为：r=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$…①
合力提供它们的向心力：$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{L}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$…②
联立①②，解得：v=$\sqrt{\frac{Gm}{L}}$，故A错误；
B、根据$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{L}^{2}}=ma$得：a=$\frac{\sqrt{3}Gm}{{L}^{2}}$，故加速度与它们的质量有关，故B错误；
C、根据$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{L}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$解得：T=$\frac{2}{3}π\sqrt{\frac{3{L}^{3}}{Gm}}$，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍，故C正确；
D、根据v=$\sqrt{\frac{Gm}{L}}$可知，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度不变，故D错误．
故选：C．

点评 解决该题首先要理解模型所提供的情景，然后能够列出合力提供向心力的公式，才能正确解答题目．