Question

11．如图甲所示，水平传送带在电动机带动下保持以速度v₀向右运动，传送带长L=10m，t=0时刻，将质量为m=1kg的木块轻放在传送带左端，木块向右运动的速度-时间图象（v-t）如图乙所示．当木块刚运动到传送带最右端时（未滑下传送带），一颗子弹水平向左正对射入木块并穿出，木块速度变为v=3m/s，方向水平向左，以后每隔时间△t=1s就有一颗相同的子弹向左射向木块．设子弹与木块的作用时间极短，且每次子弹穿出后木块的速度都变为方向水平向左大小为v=3m/s，木块长度比传送带长度小得多，可忽略不计，子弹穿过木块前后木块质量不变，重力加速度取g=10m/s²．求：
（1）传送带运行速度大小v₀及木块与传送带间动摩擦因数μ；
（2）木块在传送带上最多能被多少颗子弹击中；
（3）木块从轻放在传送带左端至最终被子弹打下传送带，电动机多消耗的电能．

Answer 1

分析 （1）根据速度时间图线知，木块向右先做匀加速直线运动，速度达到传送带速度后做匀速直线运动，结合图线得出传送带运行的速度，以及加速度的大小，根据牛顿第二定律求出木块与传送带间的动摩擦因数．
（2）木块被子弹击中后向左做匀减速直线运动，结合速度时间公式求出△t后木块的速度，发现木块再次与传送带共速，根据运动学公式求出木块实际向左的位移大小，结合传送带的长度，通过木块每次击中后的实际位移大小分析木块最多被多少颗子弹击中．
（3）分别求出木块第一次共速、前9颗子弹作用下、第10颗子弹作用结束时皮带的位移大小，抓住牵引力做功与克服摩擦力做功，得出电动机多消耗的电能．

解答 解：（1）由木块v-t图可知，木块达到传送带速度v₀后做匀速直线运动，有：
v₀=1m/s
加速度为：a=$\frac{1}{0.25}m/{s}^{2}=4m/{s}^{2}$，
根据牛顿第二定律得：a=$\frac{μmg}{m}=μg$，
代入数据解得：μ=0.4．
（2）设第一颗子弹穿出木块后的瞬间，木块被子弹击中后向左做匀减速直线运动，经过时间△t=1s速度变为v′，有：
v′=v-a△t，
解得：v′=-1m/s，即木块恰好再次与传送带共速．
期间木块对地向左最大位移大小为：${x}_{1}=\frac{{v}^{2}}{2a}=\frac{{3}^{2}}{2×4}=\frac{9}{8}m$，
然后木块对地向右最大位移大小为：${x}_{2}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}=\frac{1}{2×4}=\frac{1}{8}m$，
木块实际向左位移大小为：$△x={x}_{1}-{x}_{2}=\frac{9}{8}-\frac{1}{8}m=1m$．
设木块在传送带上最多能被n颗子弹击中，应满足：
（n-2）△x+x₁≤L，（n-1）△x+x₁≥L，
解得：n=10．
（3）当木块在传送带上相对滑动时，有：f=μmg=4N，
木块从轻放在传送带左端到加速与传送带共速的时间为：t₁=0.25s，x_皮1=v₀t₁=1×0.25m=0.25m，
则电动机牵引力做功与克服摩擦力做功相等，E₁=fx_皮1=4×0.25J=1J．
前9颗子弹作用结束时，每次木块速度由方向水平向左v=3m/s变为传送带共速时间为△t=1s，且这段时间滑动摩擦力未反向，
总时间t₂=9△t=9s，x_皮2=v₀t₂=1×9m=9m．
则电动机牵引力做功与克服摩擦力做功相等，E₂=fx_皮2=4×9J=36J．
第10颗子弹作用结束时，设t₃时间后木块从左边离开传送带，需运动位移x=L-9△x，
x=${v}_{0}{t}_{3}-\frac{1}{2}a{{t}_{3}}^{2}$=1m，代入数据解得t₃=0.5s，x_皮3=v₀t₃=1×0.5m=0.5m，
则电动机牵引力做功与克服摩擦力做功相等，E₃=fx_皮3=4×0.5J=2J．
即木块从轻放在传送带左端至最终被子弹打下传送带，电动机多消耗的电能E_电=E₁+E₂+E₃=1+36+2J=39J．
答：（1）传送带运行速度大小为1m/s，木块与传送带间动摩擦因数μ为0.4；
（2）木块在传送带上最多能被10颗子弹击中；
（3）木块从轻放在传送带左端至最终被子弹打下传送带，电动机多消耗的电能为39J．

点评 本题综合考查了动量守恒定律、动能定理、牛顿第二定律以及运动学公式，关键理清运动过程，选择合适的规律进行求解．对于第三问，有一定的难度，需高清在各个阶段下皮带的位移大小．