Question

有一个竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度为k的轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料--ER流体，它对滑块的阻力可调．起初，滑块静止，ER流体对其阻力为0，弹簧的长度为L．现有一质量也为m的物体从距地面2L处自由落下，与滑块碰撞后粘在一起向下运动．为保证滑块做匀减速运动，且下移距离为

2mg

k

时速度减为0，ER流体对滑块的阻力须随滑块下移而变．试求（忽略空气阻力）：
（1）下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能；
（2）滑块下移距离d时ER流体对滑块阻力的大小．
（3）已知弹簧的弹性势能的表达式为EP=

1

2

kx2（式中k为弹簧劲度系数，x为弹簧的伸长或压缩量），试求：两物体碰撞后粘在一起向下运动

2mg

k

距离，速度减为零的过程中，ER流体对滑块的阻力所做的功．

Answer 1

分析：（1）根据机械能守恒定律求出物体下落与薄滑块碰撞前的速度，根据动量守恒定律求出碰后的速度，从而求出碰撞过程中系统损失的机械能．
（2）对系统受力分析，根据匀变速直线运动的速度位移公式求出加速度的大小，结合牛顿第二定律和胡克定律求出滑块下移距离d时ER流体对滑块阻力的大小．
（3）分别求出重力势能和弹性势能的变化量，根据能量守恒定律求出ER流体对滑块的阻力所做的功．

解答：解：（1）设物体下落末速度为v₀，由机械能守恒定律mgL=

1

2

m

v

2 0

…①
得：v0=

2gL

设碰后共同速度为v₁，由动量守恒定律  2mv₁=mv₀…②
得：v1=

1

2

2gL

碰撞过程中系统损失的机械能   △E=

1

2

?2m?

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

=-

1

2

mgL
（2）设加速度大小为a，有2ax=

v

2 1

…③
得：a=

kL

8m

设弹簧弹力为F_N，ER流体对滑块的阻力为F_ER受力分析如图所示

F_N+F_ER-2mg=2ma…④
F_N=mg+kd…⑤
联立③④⑤三式解得：FER=mg+

kL

4

-kd
（3）从碰撞结束瞬间到最低点的过程中，
重力做功为：WG=2mg?

2mg

k

=

4m2g2

k

…⑥
弹性势能的变化为：△EP=

1

2

k(

mg

k

+

2mg

k

)2-

1

2

k(

mg

k

)2=

4m2g2

k

…⑦
所以重力做功恰等于弹性势能的增加，所以ER流体做功等于动能变化WER=0-

1

2

?2m?

v

2 1

=-

1

2

mgL
答：（1）下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能为

1

2

mgL．
（2）滑块下移距离d时ER流体对滑块阻力的大小FER=mg+

kL

4

-kd．
（3）ER流体对滑块的阻力所做的功为-

1

2

mgL．

点评：本题综合考查了动量守恒定律、机械能守恒定律、能量守恒定律、牛顿第二定律等知识，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．