Question

3．一颗围绕地球运行的飞船，其轨道为椭圆，已知地球质量为M，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）

• A． 飞船在远地点速度一定大于$\sqrt{gR}$
• B． 飞船在近地点瞬间减速转移到绕地圆轨道后，周期一定变大
• C． 飞船在远地点瞬间加速转移到绕地圆轨道后，机械能一定变大
• D． 飞船在椭圆轨道上的周期可能等于π$\sqrt{\frac{27R}{5g}}$

Answer 1

分析 近地环绕速度是$\sqrt{gR}$；
飞船在获得其他能量，瞬间加速变轨，机械能增大；
开普勒第三定律是解决椭圆轨道周期问题的常见方法．

解答 解：A、$\sqrt{gR}$是地球表面附近匀速圆周运动速度，是最大环绕速度，飞船从近地点到远地点做减速运动，所以在远地点速度不可能大于$\sqrt{gR}$，故A错误；
B、根据开普勒第三定律，飞船在近地点瞬间减速转移到绕地圆轨道后，周期一定变小，故B错误；
C、飞船在远地点瞬间加速转移到绕地圆轨道后，因为加速获得能量后能量守恒，所以机械能一定变大，故C正确；
D、地球表面附近，万有引力提供向心力：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
所以$T=2π\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$        ①
地球表面附近，重力近似等于万有引力：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
所以GM=gR²        ②
联立①②可得：
$T=π\sqrt{\frac{4R}{g}}$
根据开普勒第三定律，椭圆轨道半长轴比R大，所以周期也大，即$π\sqrt{\frac{27R}{g}}＞π\sqrt{\frac{4R}{g}}$，故D正确．
故选：CD．

点评 熟练掌握近地卫星运动及受力和开普勒第三定律是解决本题的关键．开普勒第三定律也是解决椭圆轨道的常见方法．