Question

2．如图所示，斜面的倾角为θ，虚线EE′以上部分都是光滑的，以下部分都是粗糙的．长为L，质量分布均匀的薄木板A质量为m，与EE′以下部分之间的动摩擦因数为$\frac{3}{2}$tanθ．将A从EE′上方斜面的某处静止释放，木板能全部滑进斜面的粗糙部分．在整个运动过程中，木板的长度始终平行于斜面两边沿，重力加速度为g，求：
（1）A在整个运动过程中，运动速度最大时，进入粗糙斜面那一部分的长度是多少？
（2）当木板进入粗糙斜面部分的长度为多少时，木板处于光滑斜面的那一部分跟处于粗糙斜面的那一部分之间的相互作用力最大？最大作用力为多少？

Answer 1

分析 （1）木板进入粗燥斜面，随着木板进入越多，摩擦力越大，当重力沿斜面下的分力刚好等于摩擦力时，木板的加速过程刚好结束，木板的加速度刚好减速到零，由牛顿第二定律可动摩擦因数；
（2）进入粗糙斜面后，分别对粗糙部分和光滑部分用牛顿第二定律联立可解得最大作用力．

解答 解：（1）设木板运动速度最大时，进入粗燥斜面的部分长度为x₁时，分析可知，此时木板的加速过程刚好结束，木板的加速度刚好减速到零，由牛顿第二定律得$mgsinθ-μ\frac{x}{L}mgcosθ=0$
解得X₁=$\frac{2}{3}$L
（2）设木板进入粗燥斜面部分的长度为x时，木板的加速度为a，光滑斜面中的那一部分跟粗燥斜面中的那一部分的相互作用力的大小为F，则由牛顿第二定律得
$mgsinθ-μ\frac{{x}_{1}^{\;}}{L}mgcosθ=ma$
对于光滑斜面的那一部分，由牛顿第二定律得
$\frac{L-x}{L}mgsinθ-F=\frac{L-x}{L}ma$
联立解得$F=\frac{3}{2{L}_{2}}（L-x）xmgsinθ$
当L-x=x，即$x=\frac{L}{2}$ 时，F有极大值为
${F}_{m}=\frac{3}{8}mgsinθ$
答：（1）A在整个运动过程中，运动速度最大时，进入粗糙斜面那一部分的长度是$\frac{2}{3}L$．
（2）当木板进入粗糙斜面部分的长度为$\frac{L}{2}$时，木板处于光滑斜面的那一部分跟处于粗糙斜面的那一部分之间的相互作用力最大，最大作用力为$\frac{3}{8}mgsinθ$．

点评 本题中要注意摩擦力随着滑块进入粗糙斜面长度的变化而变化；进入后要能分别对粗糙部分和光滑部分别用牛顿第二定律联立求解．