Question

12．两个完全相同的物体A和B，在同一地点，物体A由静止开始释放，竖直下落；物体B由水平方向抛出．不计空气阻力时，A、B将同时落到地面上．若考虑空气阻力的存在，在下面两种情况下．试分析A、B是否同时落地，如不同时落地请说明落地的先后．
（1）空气阻力与速度成正比；
（2）空气阻力与速度的平方成正比．

Answer 1

分析 对两种情况下的小球进行受力分析，然后结合牛顿第二定律与匀变速直线运动的特点即可正确解答．

解答 解：（1）若空气阻力与速度成正比；即f∝v
刚刚开始运动时，做自由落体运动的物体在竖直方向受到的阻力是0，随速度的增大，阻力增大，始终满足：f∝v；
刚刚开始运动时，做平抛运动的物体在竖直方向受到的阻力是0，随竖直方向分速度的增大，合速度：
$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
阻力：f∝v∝$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
竖直方向：f_y∝$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$sinθ，θ是合速度与水平方向之间的夹角．由以上的公式可知，在竖直方向上，做平抛运动的物体竖直方向受到的阻力不是与竖直方向的分速度成正比，由公式可知，该阻力沿竖直方向的分力要小于做自由落体运动的物体在竖直方向受到的分力，所以做平抛运动的物体先落地．
（2）若空气阻力与速度的平方成正比．即f∝v²；
刚刚开始运动时，做自由落体运动的物体在竖直方向受到的阻力是0，随速度的增大，阻力增大，始终满足受到的阻力与速度的平方成正比，即：f∝v²；
做平抛运动的物体在竖直方向受到的阻力是0，随竖直方向分速度的增大，合速度：
$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
阻力：f∝v² ∝$（{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}）$
竖直方向的阻力：f_y′∝$（{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}）$•sin²θ=$（{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}）$•$（\frac{{v}_{y}}{\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}}）^{2}$=${v}_{y}^{2}$
可知做平抛运动的物体在竖直方向受到的阻力与竖直方向分速度的平方成正比．
可知，两种情况下竖直方向的受力与都与竖直方向的分速度平方成正比，是相同的，所以二者同时落地．
答：（1）空气阻力与速度成正比是做平抛运动的物体先落地；
（2）空气阻力与速度的平方成正比时二者同时落地．

点评 该题结合牛顿第二定律考查平抛运动，掌握矢量合成的平行四边形定则和分运动的独立性是解决本题的关键．
该题是自招的考试题，有一定的能力的同学可以选做，而一般的同学不建议做．