Question

11．如图所示，光滑水平面MN左端足够远的地方有一弹性挡板（碰撞时无能量损失）P，右端N与处于同一高度的水平传送带之间的距离可忽略，传送带水平部分NQ的长度L=2m，传送带逆时针匀速转动，其速度v=2m/s．MN上放置着两个可视为质点的质量m_A=4kg、m_B=1kg的小物块A、B，开始时A、B都静止，A、B间压缩一锁定的轻质弹簧，其弹性势能E_P=10J．现解除锁定，弹簧弹开A、B后迅速移走弹簧，g=10m/s²．求：
（1）物块A、B被弹开时各自的速度大小；
（2）要使两物块能在水平面MN上发生碰撞，则小物块B与传送带间的动摩擦因数至少为多大；
（3）若物块A、B与传送带间的动摩擦因数都等于第（2）问中的临界值，且两物块碰撞后结合成整体．在此后物块A、B 三次离开传送的运动过程中，两物块与传送带间产生的总热量．

Answer 1

分析 （1）A、B被弹簧弹开的过程实际是爆炸模型，符合动量守恒、AB及弹簧组成的系统机械能守恒．
（2）对B，运用用动能定理可以求出动摩擦因数．
（3）我们用逆向思维考虑：A、B整体最后刚好从Q点滑出那么它的末速度一定为零，即他们一直做匀减速运动，则A、B碰撞后的公共速度可求；而碰撞前B的速度已知，那么碰撞前A的速度利用动量守恒可求；既然A的速度求出来了，利用动能定理或者功能关系知道P对A做的功就等于A的动能．

解答 解：（1）A、B物块被弹簧弹开的过程中，取向右为正方向，由动量守恒定律得：m_Av_A-m_Bv_B=0
由能量守恒知：${E_P}=\frac{1}{2}{m_A}v_A^2+\frac{1}{2}{m_B}v_B^2$
解得：v_A=1m/s，v_B=4m/s
（2）要使两物块能在水平面MN上发生碰撞，小物块B不能在传送带的Q端掉下，则小物块B在传送带上至多减速运动达Q处．
以B物块为研究对象，滑到最右端时速度为0，据动能定理有：
  $-{μ_{min}}{m_B}gL=0-\frac{1}{2}{m_B}v_B^2$
解得：μ_min=0.4
（3）物块B返回过程先加速后匀速，到达水平面MN上时的速度等于传送带速度，故v′_B=v=2m/s
若两物块A、B在水平面MN上相向碰撞结合成整体，设共同速度为v₁，根据动量守恒有
  m_Av_A-m_Bv′_B=（m_A+m_B）v₁
解得：v₁=0.4m/s，方向向右．
因v₁=0.4m/s＜v=2m/s，所以两物块A、B整体滑上传送带后先向右减速，再向左加速回到水平面MN上，且速度与v₁等值．整体与弹性挡板碰撞后再滑上传送带，如此重复运动．
两物块A、B整体每次在传送带上运动的过程中，相对传送带运动的距离为 $l=v×2×\frac{v_1}{μg}$=0.4m
故从A、B物块碰撞后整体在传送带上三次运动的过程中产生的总热量为 Q=3μ（m_A+m_B）gl=24J．
若两物块A、B在水平面MN上同向碰撞结合成整体，设共同速度为v₂，根据动量守恒有
  m_Av_A-m_Bv′_B=（m_A+m_B）v₂
解得：v₂=1.2m/s，方向向右．
因v₁=1.2m/s＜v=2m/s，所以两物块A、B整体滑上传送带后先向右减速，再向左加速回到水平面MN上，且速度与v₂等值，如此重复运动．此时两物块A、B整体每次在传送带上运动的过程中，相对传送带运动的距离为 $l'=v×2×\frac{v_2}{μg}$=1.2m
故从A、B物块碰撞后整体在传送带上三次运动的过程中产生的总热量为 Q′=3μ（m_A+m_B）gl′=72J．
答：
（1）物块A、B被弹开时各自的速度大小分别是1m/s和4m/s；
（2）小物块B与传送带间的动摩擦因数至少为0.4．
（3）两物块与传送带间产生的总热量为72J．

点评 本题的关键分析清楚物体运动过程，明确临界状态的条件，应用动量守恒定律、机械能守恒定律、动能定理进行研究．