Question

12．坡道顶端距水平滑道ab高度为h=0.8m，质量为m₁=3kg的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入ab时无机械能损失，放在地面上的小车上表面与ab在同一水平面上，右端紧靠水平滑道的b端，左端紧靠锁定在地面上的档板P．轻弹簧的一端固定在档板P上，另一端与质量为m₂=1kg物块B相接（不拴接），开始时弹簧处于原长，B恰好位于小车的右端，如图所示．A与B碰撞时间极短，碰后结合成整体D压缩弹簧，已知D与小车之间的动摩擦因数为μ=0.2，其余各处的摩擦不计，A、B可视为质点，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）A在与B碰撞前瞬间速度v的大小？
（2）求弹簧达到最大压缩量d=1m时的弹性势能E_P？（设弹簧处于原长时弹性势能为零）
（3）撤去弹簧和档板P，设小车长L=2m，质量M=6kg，且μ值满足0.1≤μ≤0.3，试求D相对小车运动过程中两者因摩擦而产生的热量（计算结果可含有μ）．

Answer 1

分析 （1）A下滑过程机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出碰撞恰A的速度．
（2）A、B碰撞过程系统动量守恒，应用动量守恒定律与能量守恒定律可以求出弹性势能．
（3）系统动量守恒，应用动量守恒定律与能量守恒定律可以求出产生的热量．

解答 解：（1）A下滑过程机械能守恒，由机械能守恒定律得：
${m_1}gh=\frac{1}{2}{m_1}{v^2}$，代入数据解得：v=4m/s；
（2）A与B碰撞过程系统动量守恒，以A的初速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：m₁v=（m₁+m₂）v₁，代入数据解得：v₁=3m/s；
D压缩弹簧，由能量定恒定律得：$\frac{1}{2}（{m_1}+{m_2}）v_1^2={E_P}+μ（{m_1}+{m_2}）gd$，
代入数据解得：E_P=10J；
（3）设D滑到小车左端时刚好能够共速，以向左为正方向，
由动量守恒定律得：（m₁+m₂）v₁=（m₁+m₂+M）v₂，代入数据解得：v₂=1.2m/s，
由能量守恒定律得：${μ_1}（{m_1}+{m_2}）gL=\frac{1}{2}（{m_1}+{m_2}）v_1^2-\frac{1}{2}（{m_1}+{m_2}+M）v_2^2$，
代入数据解得：μ₁=0.135，
①当满足0.1≤μ＜0.135时，D和小车不能共速，D将从小车的左端滑落，
产生的热量为：Q₁=μ（m₁+m₂）gL，代入数据解得：Q₁=80μJ；
②当满足0.135≤μ≤0.3时，D和小车能共速，
产生的热量为：${Q_2}=\frac{1}{2}（{m_1}+{m_2}）v_1^2-\frac{1}{2}（{m_1}+{m_2}+M）v_2^2$，
代入数据解得：Q₂=10.8J；
答：（1）A在与B碰撞前瞬间速度v的大小为4m/s；
（2）求弹簧达到最大压缩量d=1m时的弹性势能E_P为10J．
（3）①当满足0.1≤μ＜0.135时，D相对小车运动过程中两者因摩擦而产生的热量为：80μJ；
②当满足0.135≤μ≤0.3时，D相对小车运动过程中两者因摩擦而产生的热量为：10.8J．

点评 本题考查了求物体的速度、弹簧的弹性势能、摩擦产生的热量，分析清楚物体运动过程、应用机械能守恒定律、动量守恒定律与能量守恒定律即可正确解题．