Question

20．如图所示，一带电粒子以某一速度V₀在竖直平面内做直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面向里、磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域I（图中未画出磁场区域），粒子飞出磁场后垂直电场方向进入宽为L的匀强电场区域Ⅱ，已知电场强度大小为E，方向竖直向上，当粒子穿出电场时速度大小变为原来的$\sqrt{2}$倍，粒子穿出电场后进入宽度为d的匀强磁场区域Ⅲ，磁场方向向外，大小为B，已知带电粒子的质量为m，电量为q，重力不计．粒子进入磁场时的速度如图所示与水平方向成60°角．求：
（1）粒子电性？带电粒子在磁场区域I中运动的速度V₀多大？
（2）圆形磁场区域的最小面积S多大？
（3）若使粒子能返回电场，磁场区域Ⅲ的宽度d至少多大？

Answer 1

分析 （1）粒子进入磁场后垂直进入电场，知粒子所受的洛伦兹力方向向下，根据左手定则得出粒子的电性．
粒子在电场中做类平抛运动，结合粒子出电场时的速度是原来$\sqrt{2}$倍，根据牛顿第二定律和运动学公式求出带电粒子在磁场中运动时的速度大小．
（2）作出粒子的轨迹图，根据半径公式求出粒子在磁场中运动的半径，通过几何关系求出圆形磁场的最小面积．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子的轨道半径，然后求出磁场宽度．

解答 解：（1）粒子在磁场中所受的洛伦兹力方向斜向下，根据左手定则知，粒子带负电．
设粒子在磁场中运动的速率为v₀（即粒子以速率v₀进入电场），在电场中的运动时间为t，
飞出电场时速度的大小为v，由类平抛运动规律有：L=v₀t，
由牛顿第二定律得：qE=ma，v_y=at，粒子速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，
由题意可知：v=$\sqrt{2}$v₀，解得：v₀=$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$．
（2）粒子运动轨迹如图所示，

带电粒子在磁场中所受洛伦兹力提供向心力，
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，圆形磁场区域的最小半径为r，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
由几何知识可知：r=Rsin30°
磁场区域的最小面积S=πr²，
联立以上各式可得：S=$\frac{πmEL}{4q{B}^{2}}$；
（3）由题意可知：v=$\sqrt{2}$v₀，则v_y=v₀，
粒子离开电场时速度方向与竖直方向夹角θ=45°，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$，解得：r′=$\frac{\sqrt{2}}{B}$$\sqrt{\frac{mEL}{q}}$，
如果粒子恰好能返回电场，则粒子运动轨迹恰好与磁场区域Ⅲ的右边界相切，
粒子在磁场区域Ⅲ中的运动轨迹如图所示，

由几何知识可得：r′+r′sinθ=d，
解得：d=$\frac{1+\sqrt{2}}{B}$$\sqrt{\frac{mEL}{q}}$；
答：（1）粒子带负电，带电粒子在磁场区域I中运动的速度V₀为$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$．
（2）圆形磁场区域的最小面积S为$\frac{πmEL}{4q{B}^{2}}$．
（3）若使粒子能返回电场，磁场区域Ⅲ的宽度d至少为$\frac{1+\sqrt{2}}{B}$$\sqrt{\frac{mEL}{q}}$．

点评 本题考查带电粒子在电场、磁场中两运动模型：匀速圆周运动与类平抛运动，及相关的综合分析能力，以及空间想像的能力，应用数学知识解决物理问题的能力．