Question

【题目】在匀速直线运动中，物体运动的速度不变，因此位移x=vt，这在数值上恰好等于v-t图像中阴影部分的面积，如图（甲）所示。证明：在初速度为v0、加速度为a的匀变速度直线运动中，如图（乙），梯形的面积在数值上等于匀变速直线运动的位移大小；并推导出位移公式（用v0、a、t表示）。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内就可以近似地应用匀速直线运动的公式来计算位移，如图（甲）所示；如果我们把每一小段内的运动看做匀速运动，则矩形面积之和等于各段匀速直线运动的位移之和，显然小于匀变速直线运动在该时间内的位移，但所取时间段越小，各匀速直线运动位移之和与匀变速直线运动位移之间的差值就越小，如图（乙）所示，当时，各矩形面积之和趋近于图线下面的面积，可以想象，如果把整个运动过程划分得非常细，很多小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小就等于图（丙）所示的梯形面积。

对于匀变速直线运动，运用“无限分割，逐步逼近”的微分思想可得：匀变速直线运动，物体的位移对应图线和时间轴所包围的图像的“面积”。

在图中图线和时间轴所包围的图像的“面积”为

与之对应的物体的位移为

又

联立解得