Question

12．一小船渡河，河宽d=180m，水流速度v₁=2.5m/s．若船在静水中的速度为v₂=5m/s，（sin37°=cos53°=0.6，cos37°=sin53°=0.8）求：
（1）使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？最短时间是多少？
（2）使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？
（3）若船在静水中的速度为v₂=1.5m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？位移是多少？

Answer 1

分析 当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短；若船速大于水流速度时，当合速度与河岸垂直时，渡河航程最短，若船速小于水流速度时，合速度垂直船速，对应的船航程最短，结合运动学公式与平行四边形定则，即可求解．

解答 解：（1）欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．
当船头垂直河岸时，如图甲所示．
合速度为倾斜方向，垂直分速度为v₂=5 m/s．
t=$\frac{d}{{v}_{2}}$=$\frac{180}{5}$s=36 s
（2）欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α
如图乙所示，
有v₂sin α=v₁，得α=30°
所以当船头向上游偏30°时航程最短．
s′=d=180 m．
t′=$\frac{d}{{v}_{2}cos30°}$=$\frac{180}{5×\frac{\sqrt{3}}{2}}$s=24$\sqrt{3}$s
（3）因v_船＜v_水，若要使船航程最短，船头应指向上游与河岸成θ角，
如下图所示，

cosθ=$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$=$\frac{1.5}{2.5}$=0.6，则θ=53°，
最短航程为x_min=$\frac{d{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{2.5}{1.5}$×180m=300m
所需要的时间为t′=$\frac{{x}_{min}}{{v}_{1}sin53°}$=$\frac{300}{2.5×0.8}$s=150s；
答：（1）船头垂直于河岸，时间为36s；
（2）船头向上游偏30°，时间为24$\sqrt{3}$s．
（3）要使船渡河的航程最短，船头应偏向上游53°，位移是300m．

点评 解决本题的关键知道合运动与分运动具有等时性，当静水速与河岸垂直，渡河时间最短；当合速度与河岸垂直，渡河航程最短．小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，使用平行四边形法则求合速度．