Question

10．如图所示，已知绳长a，水平杆长b，小球质量m，整个装置可绕竖直轴转动，重力加速度g，要使绳子与竖直方向成45°角．求：（结果可用根号表示）
（1）该装置必须以多大的角速度旋转？
（2）此时绳子对小球的拉力为多大？

Answer 1

分析 （1）球在水平面内做匀速圆周运动，由重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力，半径r=Lsin45°+l₀，由牛顿第二定律求解角速度．
（2）球在竖直方向力平衡，求解绳的拉力大小．

解答 解：以小球为研究对象，其圆周运动的圆心在竖直轴上，设小球受绳子拉力为F，以竖直方向和指向圆心方向建立直角坐标系．
由图中几何关系可得：r=b+asin45°①
将力F分解成水平方向和竖直方向两个分力，则可以得到：
竖直方向：Fcos45°-mg=0②
水平方向：Fsin45°=mω²r③
（1）由式①②③可解得：ω=$\sqrt{\frac{g}{b+\frac{\sqrt{2}}{2}a}}$
（2）由式②可解得：F=$\sqrt{2}mg$
答：（1）该装置必须以$\sqrt{\frac{g}{b+\frac{\sqrt{2}}{2}a}}$的角速度旋转；
（2）此时绳子对小球的拉力为$\sqrt{2}mg$．

点评 本题是圆锥摆问题，关键分析小球的受力情况和运动情况，容易出错的地方是圆周运动的半径r=Lsin45°．