Question

如图示，在倾角为θ的足够长的光滑斜面上，长木板上有一质量为2m的小铁块（视为质点）以相对地面的初速度v₀从长木板的上端沿长木板向下滑动，同时对长木板在沿斜面向上的某拉力作用下始终作速度为v的匀速运动（已知v₀＞v），小铁块最终跟长木板一起向上做匀速运动．已知小铁块与木板间的动摩擦因数为μ，已知μ＞tanθ，试求：
（1）小铁块在长木板上滑动时的加速度； 
（2）要保证块与板能共速，若长木板足够长，求铁块与长木板相对滑行时间； 
（3）长木板的最短长度；

Answer 1

分析：（1）小铁块在长木板上滑动时受到重力、木板的支持力和摩擦力作用，根据牛顿第二定律求解加速度．
（2）小铁块先沿斜面向下匀减速至速度为零再沿斜面向上匀加速，最终跟长木板一起向上做匀速运动．由于铁块变速运动过程的加速度一定，看成一种匀减速运动，取沿斜面向上方向为正方向，此过程的初速度为-v₀，末速度为v，由速度公式可求出时间．
（3）由位移公式分别此段时间内小铁块的位移s₁和木板的位移s₂，由几何关系得，长木板的长度应满足：L≥s₁+s₂，即可求解长木板的最小的长度L．

解答：解：（1）设小铁块的加速度大小为a，取沿斜面向上为正：μ?2mgcosθ-2mgsinθ=2ma
得 a=g（μcosθ-sinθ） 
因为μ＞tanθ，所以小铁块加速度沿斜面向上． 
（2）小铁块先沿斜面向下匀减速至速度为零再沿斜面向上匀加速，设最终获得稳定速度v，
经t后小铁块达到稳定速度，则v-（-v₀）=at，得t=

v+v0

g(μcosθ-sinθ)

（3）设此段时间内小铁块的位移为s₁，木板的位移为s₂，
有：s₁=

[v0+(-v)]t

2

，方向沿斜面向下
s₂=vt，方向沿斜面向上   
故长木板的最短长度为L_m=s₁+s₂，得  L_m=

(v+v0)2

g(μcosθ-sinθ)

答：（1）小铁块在长木板上滑动时的加速度是g（μcosθ-sinθ），方向沿斜面向上． 
（2）要保证块与板能共速，若长木板足够长，铁块与长木板相对滑行时间是

v+v0

g(μcosθ-sinθ)

．
（3）长木板的最短长度是

(v+v0)2

g(μcosθ-sinθ)

．

点评：本题是两个物体多个过程的问题，分析物体的运动过程是基础，把握临界条件是解题的关键．对于第2题也可分两个阶段求解铁块运动时间．铁块交减速过程：0=v₀-at₁，求得t₁，
铁块匀加速过程：v=at₂，求得t₂．