Question

【题目】如图所示，在竖直平面(纸面)内有一直角坐标系xOy，水平轴x下方有垂直纸面向里的匀强磁场，第三象限有沿x轴负方向的匀强电场，第四象限存在另一匀强电场(图中未画出)；光滑绝缘的固定不带电细杆PQ交x轴于M点，细杆PQ与x轴的夹角θ=30°，杆的末端在y轴Q点处，PM两点间的距离为L。一套在杆上的质量为2m、电荷量为q的带正电小环b恰好静止在M点，另一质量为m、不带电绝缘小环a套在杆上并由P点静止释放，与b瞬间碰撞后反弹，反弹后到达最高点时被锁定，锁定点与M点的距离为，b沿杆下滑过程中始终与杆之间无作用力，b进入第四象限后做匀速圆周运动，而后通过x轴上的N点，且OM=ON。已知重力加速度大小为g，求：

(1)碰后b的速度大小υ以及a、b碰撞过程中系统损失的机械能△E；

(2)磁场的磁感应强度大小B；

(3)b离开杆后经过多长时间会通过x轴。

Answer 1

【答案】（1） ； （2）

（3）ⅰ；竖直向上经过x轴： （n=1、2、3……）ⅱ；竖直向下经过x轴： （n=1、2、3……）

【解析】

（1）根据能量守恒定律和动量守恒定律求解碰后b的速度大小υ以及a、b碰撞过程中系统损失的机械能△E；（2）b从M点运动到Q点的过程中与杆无作用力，列出平衡方程，结合其他关系求解B；（3）画出粒子的运动轨迹，结合几何关系以及圆周运动的知识求解b离开杆后通过x轴可能的时间。

（1）设a和b相碰前的速度大小为v1，碰后的速度为v2，由机械能守恒定律：

由动量守恒定律：

解得

机械能损失：

解得

（2）设匀强磁场的磁感应强度大小为B，由于b从M点运动到Q点的过程中与杆无作用力，可得qvBcosθ=2mg，

解得

（3）b在第四象限做匀速圆周运动的轨迹如图，

由几何关系可知轨迹的圆心O′在x轴上，b经过N点时速度方向与x轴垂直，圆心角α=1200，又匀速圆周运动的周期为

b从Q点第一次通过N点的时间为

可得

b第一次通过N点后做竖直上抛运动，经t2时间第二次通过N点，有：

b第二次通过N点后做竖直上抛运动，经t3时间第三次通过N点，有：

故b离开杆后会通过x轴的可能时间是：

（ⅰ）竖直向上通过x轴：

（n=1、2、3、……）

（ⅱ）竖直向下通过x轴：

（n=1、2、3、……）