Question

2．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列结论正确的是（　　）

	地球	火星	木星	土星	天王星	海王星
轨道半径（AU）	1.0	1.5	5.2	9.5	19	30

• A． 海王星绕太阳运动的周期约为98.32年，相邻两次冲日的时间间隔为1.006年
• B． 土星绕太阳运动的周期约为29.28年，相邻两次冲日的时间间隔为5.04年
• C． 天王星绕太阳运动的周期约为52.82年，相邻两次冲日的时间间隔为3.01年
• D． 木星绕太阳运动的周期约为11.86年，相邻两次冲日的时间间隔为1.09年

Answer 1

分析 行星围绕太阳做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律，其轨道半径的三次方与周期T的平方的比值都相等；从一次行星冲日到下一次行星冲日，为地球多转动一周的时间．

解答 解：根据开普勒第三定律，有：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{{R}_{地}^{3}}{{T}_{地}^{2}}$；
解得：T=$\sqrt{{（\frac{R}{{R}_{地}}）}^{3}}{T}_{地}$；
故T_火=$\sqrt{{1.5}^{3}}年$=1.84年；T_木=$\sqrt{{5.2}^{3}}年$=11.86年；T_土=$\sqrt{{9.5}^{3}}年$=29.28年；T_天=$\sqrt{19{\;}^{3}}年$=82.82年；T_海=$\sqrt{{30}^{3}}年$=164.32年；
如果两次行星冲日时间间隔为t年，则地球多转动一周，有：
2π=（$\frac{2π}{{T}_{地}}-\frac{2π}{{T}_{0}}$）t
解得：
t=$\frac{{T}_{0}{T}_{地}}{{T}_{0}-{T}_{地}}$
故天王星相邻两次冲日的时间间隔为：t_天=$\frac{82.82×1}{82.82-1}$≈1.01年；
土星相邻两次冲日的时间间隔为：t_土=$\frac{29.28×1}{29.28-1}$≈1.04年；
木星相邻两次冲日的时间间隔为：${t}_{木}=\frac{11.86×1}{11.86-1}=1.09$年
A、海王星绕太阳运动的周期约为98.32年，故A错误；
B、土星绕太阳运动的周期约为29.28年，相邻两次冲日的时间间隔为1.04年，故B错误；
C、天王星绕太阳运动的周期约为82.82年，相邻两次冲日的时间间隔为1.01年；故C错误；
D、木星绕太阳运动的周期约为11.86年，相邻两次冲日的时间间隔为1.09年；故D正确；
故选：D．

点评 本题关键是结合开普勒第三定律分析（也可以运用万有引力等于向心力列式推导出），知道相邻的两次行星冲日的时间中地球多转动一周．