Question

（2007?闵行区模拟）如图所示，两物体的质量分别为M和m（M＞m），用细绳连接后跨接在半径为R的固定光滑半圆柱体上（离地面有足够高的距离），两物体刚好位于其水平直径的两端，释放后它们由静止开始运动．问：
（1）m在最高点时的速度大小；
（2）当m与M的比值为多大时，m对圆柱体顶端的压力为零．

Answer 1

分析：（1）球m从水平直径的一端到达最高点的过程中，只有重力对系统做功，机械能守恒，根据系统的机械能守恒求解球m的速度大小．此过程中，m球上升的高度等于R，而B球下降的高度为

π

2

R，运动过程中，两个小球的速度大小相等．
（2）重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解即可．

解答：解：（1）取m、M的起始位置为零势能面．  设当m运动到圆柱顶时的速度为v，
此时M向下移动

πR

2

该系统的机械能 E2=mgR+(-Mg

πR

2

)+

1

2

(M+m)v2
机械能守恒  E₁=E₂，即 0=mgR+(-Mg

πR

2

)+

1

2

(M+m)v2
得 v2=

gR(πM-2m)

M+m

；
故v=

gR(πM-2m) M+m

；
（2）m对圆柱体顶端的压力为零，mg=m

v2

R

将速度代入，有：mg=m

gR(πM-2m)

R(M+m)

解得：

m

M

=

π-1

3

；
答：（1）m在最高点时的速度大小为

gR(πM-2m) M+m

；
（2）当m与M的比值为

π-1

3

时，m对圆柱体顶端的压力为零．

点评：本题绳系物体系统问题，根据系统机械能守恒求解速度，要注意M下落的高度是绳子运动的长度，和m上升的高度不等，难度适中．