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    1．如图所示，将直径为2R的半圆形轨道固定在竖直平面内的A、B两点，直径与竖直方向的夹角为60°，O为半圆形导轨的圆心，D为O点正下方导轨上的点．在导轨上套一质量为m的小圆环，原长为2R、劲度系数k=$\frac{mg}{8R}$的弹性轻绳穿过圆环且两端固定在A、B两点，已知弹性轻绳始终在弹性限度内，重力加速为g，将圆环从A点正下方的C点由静止释放．
    （1）如果导轨是光滑的，求圆环到达D点时的速度大小和导轨对圆环的作用力的大小；
    （2）如果导轨是粗糙的，圆环与导轨间的动摩擦因数为μ，已知圆环运动到D点时恰好只有向心加速度，求圆环由C点运动到D点过程中克服摩擦力做的功．

    分析 （1）从C到D过程，由机械能守恒定律可以求出圆环到达D点时的速度；圆环做圆周运动，由牛顿第二定律可以求出在D点导轨对圆环的作用力．
    （2）如果导轨是粗糙的，圆环运动到D点时恰好只有向心加速度，没有切向加速度，根据向心力公式和切向合力为零分别列式，求出D点的速度，再由动能定理求圆环由C点运动到D点过程中克服摩擦力做的功．

    解答 解：（1）如图所示，由几何知识得，圆环在C点、D点时，弹性绳形变量相同，弹性势能相等．
    圆环从C到D过程中，由机械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}$mv2
    由几何关系可知：h=$\frac{1}{2}$R
    解得：v=$\sqrt{gR}$；
    圆环在D点受力如图，弹性绳的弹力：F=kx，其中：x=（$\sqrt{3}$-1）R
    在D点，由牛顿第二定律得：
    FN+Fcos60°+Fsin60°-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
    解得：FN=$\frac{15}{8}$mg；
    （2）设圆环运动到D点的速度为vD．
    据题在D点切向合力为零，则有：
    f+Fcos60°=Fsin60°
    且Fcos60°+Fsin60°+FN-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
    又 f=μFN
    从C到D，由动能定理得：mgh-Wf=$\frac{1}{2}$mvD2
    联立以上四式解得：Wf=$\frac{11-2\sqrt{3}}{16}$mgR
    答：
    （1）圆环到达D点时的速度大小是$\sqrt{gR}$；导轨对圆环的作用力的大小是$\frac{15}{8}$mg；
    （2）圆环由C点运动到D点过程中克服摩擦力做的功是$\frac{11-2\sqrt{3}}{16}$mgR．

    点评 本题考查了求圆环的速率、轨道对圆环的作用力，应用机械能守恒定律与牛顿第二定律即可正确解题；本题的难点，也是本题解题的关键是：应用数学知识气促C、D两点间的高度差、求出弹性绳的形变量．

    练习册系列答案
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