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    （2011?黄浦区一模）如图（a）所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距为l，导轨平面与水平面成θ角，下端通过导线连接的电阻为R．质量为m、阻值为r的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直并始终保持良好接触，整个装置处于垂直导轨平面向上的磁场中．
    （1）若金属棒距导轨下端距离为d，磁场随时间变化的规律如图（b）所示，为保持金属棒静止，求加在金属棒中央、沿斜面方向的外力随时间变化的关系．
    （2）若所加磁场的磁感应强度大小恒为B′，通过额定功率Pm的小电动机对金属棒施加沿斜面向上的牵引力，使其从静止开始沿导轨做匀加速直线运动，经过时间t1电动机达到额定功率，此后电动机功率保持不变．金属棒运动的v-t图象如图（c）所示．求磁感应强度B′的大小．
    （3）若金属棒处在某磁感应强度大小恒定的磁场中，运动达到稳定后的速度为v，在D位置（未标出）处突然撤去拉力，经过时间t2棒到达最高点，然后沿轨道返回，在达到D位置前已经做匀速运动，其速度大小为
    15
    v    ，求棒在撤去拉力后所能上升的最大高度．
    分析：（1）为保持金属棒静止，金属棒受力必须平衡，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式推导出金属棒所受的安培力，根据平衡条件列式，可求出外力随时间变化的关系．
    （2）由图c看出，金属棒运动的最大速度为v0，此时金属棒做匀速运动，合力为零．由 Pm=F2?vm 求出拉力，根据平衡条件列式，即可求得磁感应强度B′的大小．
    （3）金属棒先上滑后下滑，对于上滑的过程，根据牛顿第二定律得到加速度的表达式，采用微元法，得到速度变化量△v与时间△t的表达式，再对△v求和，得到最大距离s与v的关系式，再对下滑过程研究，匀速运动时合力为零，列式得出v的表达式，联立可求出最大高度．
    解答：解：（1）金属棒沿斜面方向受力平衡，外力应沿斜面向上，设其大小为F1，则  
       F1-mgsinθ-B1Il=0
    由图（b）可知，磁感应强度B的大小与t关系为B1=2t
    回路中产生的感应电动势  E=
    △?
    △t
    =
    △B?S
    △t
    ，S=l?d，
    此时回路中的感应电流  I=
    E
    R+r

    得 F1=mgsinθ+B1
    2?l?d
    R+r
    l=mgsinθ+4
    l2d
    R+r
    t
    （2）由图（c）可知，金属棒运动的最大速度为v0，此时金属棒所受合力为零．
    设金属棒此时所受拉力大小为F2，流过棒中的电流为Im，则  F2-mgsinθ-B′Iml=0
     Em=B?lv0
     Pm=F2?vm   
    得 
    Pm
    v0
    -mgsinθ-B′
    B′lv0
    R+r
    l=0
    解得  B′=
    1
    l
    		(
    Pm
    v
    2
    0
    -
    mgsinθ
    v0
    )(R+r)

    （3）设磁感应强度为B，棒沿斜面向上运动时，mgsinθ+BIl=ma得
      a=gsinθ+
    B2l2vt
    m(R+r)

    取极短时间△t，速度微小变化为△v，△v=a△t，△s=v△t
    得 △v=gsinθ△t+
    B2l2v△t
    m(R+r)

    在上升的全过程中，∑△v=gsinθ∑△t+
    B2l2∑△s
    m(R+r)

    即0-v=-[t2gsinθ+
    B2l2s
    m(R+r)
    ]
    又下滑到匀速时有  mgsinθ-
    B2l2v
    5(R+r)
    =0
    由上两式得s=
    v2
    5gsinθ
    -
    vt2
    5

    上升的高度H=s?sinθ=
    v2-vgt2sinθ
    5g

    答：
    （1）加在金属棒中央、沿斜面方向的外力随时间变化的关系是F1=mgsinθ+4
    l2d
    R+r
    t    ；
    （2）磁感应强度B′的大小为
    1
    l
    		(
    Pm
    v
    2
    0
    -
    mgsinθ
    v0
    )(R+r)
    ；
    （3）棒在撤去拉力后所能上升的最大高度是
    v2-vgt2sinθ
    5g
    ．
    点评：本题是复杂的电磁感应现象，通过分析过程，寻找每个过程遵守的物理规律是关键．要会运用积分法求解非匀变速运动的速度变化量，其切入口是牛顿第二定律和加速度的定义式．
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