Question

15．如图所示，一小球从斜轨道的某高度处自由滑下，然后沿竖直光滑圆轨道的内侧运动，若小球刚好能通过圆轨道的最高点．已知小球质量为m，圆轨道的半径为R，重力加速度为g．求：
（1）小球在圆轨道最高点时的速度大小？
（2）小球经过圆轨道最低点时对轨道的压力？
（3）如果忽略摩擦阻力，小球的初位置到圆轨道最低点的竖直距离？

Answer 1

分析 （1）小球刚好能通过圆轨道的最高点时，小球在最高点时恰好由重力作为向心力，由向心力的公式可以求得小球在圆轨道最高点时的速度．
（2）由动能定理或机械能守恒定律可以求得球经过圆轨道最低点时的速度．在最低点，由合力提供向心力，由牛顿定律求小球对轨道的压力．
（3）如果忽略摩擦阻力，小球的机械能守恒，由机械能守恒定律求小球初位置离最低点的高度．

解答 解：（1）小球在圆轨道的最高点时，由牛顿第二定律：
  mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：v=$\sqrt{gR}$
（2）小球从最低点到最高点的过程，由动能定理有：
-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在最低点，设轨道对小球的支持力大小为N，由牛顿第二定律有：
   N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
可解得  N=6mg
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小为6mg，方向竖直向下．
（3）小球从斜轨道运动至圆轨道最高点的过程中，由机械能守恒定律有：
  mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 h=2.5R
即小球的初位置与圆轨道最低点的距离为2.5R．   
答：
（1）小球在圆轨道最高点时的速度大小是$\sqrt{gR}$．
（2）小球经过圆轨道最低点时对轨道的压力是6mg，方向竖直向下．
（3）如果忽略摩擦阻力，小球的初位置到圆轨道最低点的竖直距离是2.5R．

点评 本题属于圆周运动中绳的模型，在最高点时应该是重力恰好做为圆周运动的向心力，对于圆周运动中的两种模型一定要牢牢的掌握住．