Question

4．现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动．平移器由垂直纸面水平放置的两对平行金属板构成，如图所示．其中极长均为l=0.2m，板间距离均为d=0.3m，两对平行板间的水平间距也为l=0.2m，两极板间偏转电压大小均为U=3×10²V，且电场方向相反．平移器右侧有一圆形边界的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁场边界恰好过纸面内坐标系Oxy的坐标原点O且与y轴、x轴相交于B、C两点．现有一质量为m=4×10^-10kg、电荷量为q=1×10^-6C的带正电粒子以v₀=1×10³m/s的速度从x轴上的A点射入平移器，且A点恰好在平移器的左边缘，入射方向平行纸面水平向右．粒子离开平移器后恰好从B点进入匀强磁场，并从C点射出磁场，射出磁场时速度方向与x轴正方向的夹角为60⁰，不计粒子重力．求：
（1）带电粒子射出第一个偏转电场时相对A点的竖直距离；
（2）圆形匀强磁场的磁感应强度；
（3）带电粒子在磁场中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）根据粒子只受电场力作用求得加速度，再由粒子在电场中做类平抛运动的位移公式求得竖直距离；
（2）根据粒子在两电场中做匀变速运动，在两电场中间做匀速直线运动求得OB的距离，然后由粒子在B、C两点的速度方向，由几何关系求得粒子做圆周运动的半径，即可由洛伦兹力做向心力求得磁感应强度；
（3）由图得到粒子转过的中心角，再根据粒子做圆周运动的周期即可求得运动时间．

解答 解：（1）由题意可得带电粒子在第一个偏转电场中做类平抛运动，加速度：$a=\frac{qU}{md}$，设粒子的运动时间为t，那么，
水平位移：S_x=l=v₀t；竖直位移：${S_y}=\frac{1}{2}a{t^2}$，所以，${S_y}=\frac{{qU{l^2}}}{{2md{v_0}^2}}=0.05m$；
（2）粒子在离开第一个偏转电场时的竖直分速度：v_y=at；
由题意可知粒子在两偏转电场间做匀速直线运动，经历时间也为t，所以可得：竖直位移：${S_y}^′={v_y}t=\frac{{qU{l^2}}}{mdv_0^2}=0.1m$；
粒子在第二个偏转电场中做匀减速运动，离开第二个偏转电场时，竖直分速度刚好为零，故粒子在第二个偏转电场的位移也为S_y=0.05m；
所以，粒子在竖直方向上的总位移：${y_{OB}}=2{S_y}+{S_y}^′=0.2m$；
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，运动速度v=v₀；
设圆周运动半径为R，则由洛伦兹力做向心力，有$qvB=\frac{{m{v^2}}}{R}$；所以，$R=\frac{{m{v_0}}}{qB}$；
又根据图中的几何关系可得：Rcos60°=R-y_OB，所以，R=2y_OB=0.4m，那么，$B=\frac{m{v}_{0}}{qR}=1T$；
（3）由图中几何关系可知，粒子在磁场中运动的中心角为60⁰，所以带电粒子在磁场中运动的时间：$t=\frac{1}{6}T$；
又有粒子在磁场中做圆周运动的周期$T=\frac{2πm}{qB}$；
所以，$t=\frac{πm}{3qB}=\frac{4π}{3}×{10^{-4}}s$；
答：（1）带电粒子射出第一个偏转电场时相对A点的竖直距离为0.05m；
（2）圆形匀强磁场的磁感应强度为1T；
（3）带电粒子在磁场中运动的时间为$\frac{4π}{3}×1{0}^{-4}s$．

点评 带电粒子在磁场中运动问题，一般由洛伦兹力做向心力求得半径的表达式，然后根据几何关系求得半径，即可联立求解．