Question

3．坡道顶端距水平滑道 ab 高度为 h=0.8m，质量为 m₁=3kg 的小物块 A 从坡道顶端由静止滑下，进入 ab 时无机械能损失，放在 地面上的小车上表面与 ab 在同 一水平面上，右端紧靠水平滑道的 b 端，左端紧靠锁定在地面上的档板 P．轻弹簧的一端 固定在档板 P 上，另一端与质量为 m₂=1kg 物块 B 相接（不拴接），开始时弹簧处于原长，B 恰好位于小车的右端，如图所示．A 与 B 碰撞时间极短，碰后结合成整体 D压缩弹簧，已知 D 与小车之间的动摩擦因数为 μ=0.2，其余各处的摩擦不计，A、B 可视为质点，重 力加速度 g=10m/s²，求：
（1）A 在与 B 碰撞前瞬间速度 v 的大小？
（2）求弹簧达到最大压缩量 d=1m 时的弹性势能 E_P？（设弹簧处于原长时弹性势能为零）
（3）在小物块 A 从坡道顶端由静止滑下前，撤去弹簧和档板 P，设小车长 L=2m，质量 M=6kg，且μ值满足 0.1≤μ≤0.3，试求 D 相对小车运动过程中两者因摩擦而产生的热量（计算结果可含有μ）．

Answer 1

分析 （1）A下滑过程只有重力，其机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出A与B碰撞前A的速度v．
（2）A、B碰撞过程系统动量守恒，应用动量守恒定律求得碰后两者的共同速度，再由能量守恒定律可以求出弹性势能．
（3）系统动量守恒，应用动量守恒定律与能量守恒定律可以求出产生的热量．

解答 解：（1）A下滑过程中，由机械能守恒定律得：
m₁gh=$\frac{1}{2}$m₁v²
代入数据解得：v=4m/s；
（2）A与B碰撞过程系统动量守恒，以A的初速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：m₁v=（m₁+m₂）v₁
代入数据解得：v₁=3m/s；
D压缩弹簧，由能量定恒定律得：$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₁²=E_P+μ（m₁+m₂）gd，
代入数据解得：E_P=10J；
（3）设D滑到小车左端时刚好能够共速，以向左为正方向，
由动量守恒定律得：（m₁+m₂）v₁=（m₁+m₂+M）v₂，代入数据解得：v₂=1.2m/s，
由能量守恒定律得：μ₁（m₁+m₂）gL=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₁²-（m₁+m₂+M）v₂²
代入数据解得：μ₁=0.135，
①当满足0.1≤μ＜0.135时，D和小车不能共速，D将从小车的左端滑落，产生的热量为：
  Q₁=μ（m₁+m₂）gL
代入数据解得：Q₁=80μJ；
②当满足0.135≤μ≤0.3时，D和小车能共速，
产生的热量为：Q₂=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₁²-（m₁+m₂+M）v₂²
代入数据解得：Q₂=10.8J；
答：（1）A在与B碰撞前瞬间速度v的大小为4m/s；
（2）弹簧达到最大压缩量d=1m时的弹性势能E_P为10J．
（3）①当满足0.1≤μ＜0.135时，D相对小车运动过程中两者因摩擦而产生的热量为：80μJ；
②当满足0.135≤μ≤0.3时，D相对小车运动过程中两者因摩擦而产生的热量为：10.8J．

点评 本题要分析清楚物体运动过程，把握每个过程的物理规律，知道碰撞的基本规律：动量守恒定律，应用机械能守恒定律、动量守恒定律与能量守恒定律即可正确解题．