Question

12．若有一颗行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则（　　）

• A． 该行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{p}{{q}^{2}}$倍
• B． 物体分别在两行星表面附近同高度以相同初速度沿水平方向抛出，水平位移之比为$\sqrt{{pq}^{3}}$倍
• C． 该行星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\sqrt{\frac{p}{q}}$倍
• D． 卫星分别在两行星表面附近环绕一周所用时间之比为$\sqrt{\frac{{q}^{3}}{p}}$倍

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力求出重力加速度；根据平抛运动的公式求出水平位移；根据万有引力提供圆周运动向心力求得第一宇宙速度的表达式，再根据质量和半径关系求行星的第一宇宙速度．根据万有引力提供向心力求出周期．

解答 解：令地球质量为M，半径为R，则行星的质量为pM，半径为qR；
A、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$．
同理g′=$\frac{pGM}{{q}^{2}{R}^{2}}$
所以：$\frac{g′}{g}=\frac{p}{{q}^{2}}$，即重力加速度是地球的$\frac{p}{{q}^{2}}$倍．故A正确；
B、做平抛运动的物体运动的时间：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
平抛运动的位移：x=${v}_{0}t={v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
所以：物体分别在两行星表面附近同高度以相同初速度沿水平方向抛出，水平位移之比为：
$\frac{x′}{x}=\sqrt{\frac{g}{g′}}$=$\sqrt{\frac{{q}^{2}}{p}}$．故B错误；
C、第一宇宙速度是近地卫星的绕行速度，根据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得地球第一宇宙速度表达式为v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
同理行星的第一宇宙速度表达式为：v$′=\sqrt{\frac{GPM}{qR}}=\sqrt{\frac{P}{q}}•\sqrt{\frac{GM}{R}}$
所以：$\frac{v′}{v}=\sqrt{\frac{p}{q}}$．故C正确；
D、根据万有引力提供圆周运动向心力有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
可得周期的表达式：$T=2π\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$
所以：$\frac{T′}{T}=\sqrt{\frac{{q}^{3}}{p}}$
卫星分别在两行星表面附近环绕一周所用时间之比为$\sqrt{\frac{{q}^{3}}{p}}$倍．故D正确．
故选：ACD

点评 本题要掌握第一宇宙速度的定义，正确利用万有引力公式列出第一宇宙速度的表达式是正确解题的关键．