Question

1．如图所示，半径为R的四分之一圆弧形支架竖直放置，圆弧边缘C处有一小定滑轮，绳子不可伸长，不计一切摩擦，开始时，m₁、m₂两球静止，且m₁＞m₂，
试求：（1）m₁释放后沿圆弧滑至最低点A时的速度．
（2）这一过程中细线对m₁所做的功．

Answer 1

分析 （1）两个滑块构成的系统只有重力势能和动能相互转化，机械能守恒；同时绳子不可伸长，沿着绳子方向的分速度相等；
（2）由动能定理可以求出细线对m₁所做的功．

解答 解：（1）设m₁滑至A点时的速度为v₁，此时m₂的速度为v₂，
由机械能守恒定律得：m₁gR-$\sqrt{2}$m₂gR=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²，
又v₂=v₁cos45°，解得：v₁=$\sqrt{\frac{4{m}_{1}gR-4\sqrt{2}{m}_{2}gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$．
（2）对m₁，由动能定理得：m₁gR-W=$\frac{1}{2}$m₁v₁²-0，
解得：W=m₁gR-$\frac{2{m}_{1}^{2}gR-2\sqrt{2}{m}_{1}{m}_{2}gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}$；
答：：（1）m₁释放后沿圆弧滑至最低点A时的速度为$\sqrt{\frac{4{m}_{1}gR-4\sqrt{2}{m}_{2}gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$．
（2）这一过程中细线对m₁所做的功为：m₁gR-$\frac{2{m}_{1}^{2}gR-2\sqrt{2}{m}_{1}{m}_{2}gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}$．

点评 本题关键是单个物体机械能不守恒，但两个物体系统机械能守恒；同时要明确通过绳子、轻杆连接的物体，沿着绳子、杆子方向的分速度一定相等．