Question

18．一转动装置如图所示，四根长均为l的轻杆OA、OC，AB和CB，与两小球及一小环通过饺链连接，球和环的质量均为m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L，裝置静止时，弹簧长为$\frac{3}{2}$L．己知弹簧始终在弹性限度内，忽略摩擦和空气阻力，则（　　）

• A． 弹簧的劲度系效为$\frac{2mg}{L}$
• B． 装置静止时，弹簧弹力等于mg
• C． 转动该装置并缓慢增大转速，AB杆中弹力先减小后增大
• D． AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度为$\sqrt{\frac{8g}{5L}}$

Answer 1

分析 装置静止时，分别对小环和小球分析，根据共点力平衡，结合胡克定律求出弹簧的劲度系数；当AB杆弹力为零时，对小环分析，根据共点力平衡和胡克定律求出弹簧的长度，对小球分析，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出装置转动的角速度ω₀．

解答 解：AB、装置静止时，设OA、AB杆中的弹力分别为F₁、T₁，OA杆与转轴的夹角为θ₁，则cosθ₁=$\frac{3}{4}$，小环受到弹簧的弹力F_弹1=k$\frac{L}{2}$．
小环受力平衡，有：F_弹1=mg+2T₁cosθ₁
小球受力平衡，有：F₁cosθ₁+T₁cosθ₁=mg，F₁sinθ₁=T₁sinθ₁
解得F_弹1=2mg，k=$\frac{4mg}{L}$．故AB错误．
CD、设OA、AB杆中的弹力分别为F₂、T₂，OA杆与转轴的夹角为θ₂，弹簧长度为x．小环受到弹簧的弹力F_弹2=k（x-L）．
小环受力平衡，F_弹2=mg，解得x=$\frac{5}{4}$L
对小球，F₂cosθ₂=mg，F₂sinθ₂=mω₀²Lsinθ₂，且cosθ₂=$\frac{x}{2L}$=$\frac{5}{8}$，解得ω₀=$\sqrt{\frac{8g}{5L}}$．
因为cosθ₂＜cosθ₁，则θ₂＞θ₁，可知转动该装置并缓慢增大转速，AB杆中弹力先减小至零后增大．故CD正确．
故选：CD

点评 本题综合考查了牛顿第二定律、共点力平衡和胡克定律的运用，要抓住当装置转动时，抓住小环平衡，小球在竖直方向上平衡，水平方向上的合力提供向心力进行研究．