Question

5．如图所示，一条长为L的细线上端固定，下端拴一个质量为m的电荷量为q的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小球从A点静止释放，当细线离开竖直位置偏角α=60°时，小球速度为0．求：
（1）电场强度E．
（2）若小球恰好完成竖直圆周运动，求从A点释放小球时应有的初速度v_A的大小（可含根式）．

Answer 1

分析 （1）小球在电场中受到重力、电场力和细线的拉力而处于平衡状态．根据细线偏离的方向，分析电场力方向，确定小球的电性．根据平衡条件和电场力公式F=qE，列方程求出电场强度．
（2）根据题意可知，由力的平行四边形定则求出电场力与重力的合力，可等效成新的重力，小球若能以最小速度通过新重力的对应的最高点，则小球恰好完成竖直圆周运动，从而根据动能定理，可求出A点释放小球时应有初速度的大小．

解答 解：（1）由图可知，小球所受电场力方向水平向右，场强也水平向右，则小球带正电荷．
由题意可知，细线离开竖直位置偏角的角平分线的位置，即为小球平衡位置，
以小球为研究对象，分析受力，作出受力示意图如图．根据平衡条件得：
qE=mgtan$\frac{α}{2}$
则：E=$\frac{mgtan30°}{q}$=$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$；
（2）小球除拉力外，还受到电场力与重力作用，由于其两个不变，因此可等效成新的重力，所以要小球恰好完成竖直圆周运动，则小球必须能以最小速度通过新的重力对应的最高点．
根据牛顿第二定律，则有：$\sqrt{（mg）^{2}+（qE）^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}mg$=m $\frac{{v}_{\;C}^{2}}{L}$；
从而A点到新的重力对应的最高点C，根据动能定理得，
-mgL（1+cos30°）-qELsin30°=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_A²；
qE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$mg
联立两式解得：v_A=$\sqrt{（2+2\sqrt{3}）gL}$．
答：（1）小球带正电，电场强度为$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$；
（2）细线摆到竖直位置时，小球的速度为$\sqrt{（2+2\sqrt{3}）gL}$．

点评 本题整合了物体的平衡、牛顿第二定律和动能定理等多个规律，分析受力是基础，要培养分析受力情况、作力图的习惯，注意不是小球能通过几何最高点，就能恰好做完整的圆周运动，这是解题的关键之处，也是重难点，同时掌握等效重力的方法．