Question

13．如图所示的光滑轨道槽，两端A、B水平，中间为竖直平面内半径为R的圆周，轨道的右侧周定一半径为r的四分之一圆弧．圆心在B点，以B点为圆心建立直角坐标系，一质量为m的小球开始静止在A端，现给小球一水平初速度v₀
（1）为使小球在竖直平面内运动时不脱离圆轨道，求v₀大小；
（2）若R=0.5m，r=5$\sqrt{2}$m，g=10m/s²，为使小球在竖直平面内运动时刚好不脱离圆轨道，并且能运动到B端并最终打在圆弧上，求打在圆弧上的坐标．

Answer 1

分析 （1）小球在竖直平面内运动刚好不脱离圆轨道时，在轨道最高点由重力提供向心力．由向心力公式求最高点的最小速度，再由机械能守恒求出v₀大小范围．
（2）小球离开B点后做平抛运动，运用运动的分解法，结合数学知识解答．

解答 解：（1）小球在竖直平面内运动刚好不脱离圆轨道时，在轨道最高点由重力提供向心力，则有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
从最低点到最高点，由机械能守恒定律得：
  2mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立可得 v₀=$\sqrt{5gR}$
故为使小球在竖直平面内运动时不脱离圆轨道，必须有v₀≥$\sqrt{5gR}$．
（2）小球在竖直平面内运动时刚好不脱离圆轨道时，由上可得 v₀=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×0.5}$=5m/s
设打在圆弧上的坐标为（x，y）．
由平抛运动的规律有：
  x=v₀t
  y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
又由数学知识有：x²+y²=r²；
联立解得：t≈0.88s，x=4.4m，y=3.872m
答：（1）为使小球在竖直平面内运动时不脱离圆轨道，必须有v₀≥$\sqrt{5gR}$．
（2）打在圆弧上的坐标为（4.4m，3.872m）．

点评 解决本题的关键要把握圆周运动最高点的临界条件和小球落在圆弧上的条件：x²+y²=r²；再结合机械能守恒和平抛运动的规律答题．